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三角形証明(発展1)

図の△ABCはAB=AC,∠BAC=90°の直角二等辺三角形である。△ADEはAD=AE,∠DAE=90°の直角二等辺三角形である。このときBD=CEを証明しなさい。

A B C D E

次の図のような△ABCがある。辺AC上に点Dがあり、BCの延長上にEがある。点Dを通り辺BCに平行な直線をnとして、直線nと∠BCAの二等分線との交点をF,直線nと∠ACEの二等分線との交点をGとする。FD=DGとなることを証明しなさい。

A B C D E F G n

次の図で△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形である。AとCから直線mにおろした垂線の交点をそれぞれD,Eとする。AD=BEを証明せよ。

m A B C D E


△ABDと△ACEにおいて
∠BAD=∠BAC-∠DAC・・・①
∠CAE=∠DAE-∠DAC・・・②
∠BAC=∠DAE=90°(仮定)・・・③
①②③より∠BAD=∠CAE・・・④
AB=AC(仮定) ・・・⑤
AD=AE(仮定) ・・・⑥
④⑤⑥より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=CE


△FDCにおいて
∠DCF=∠FCB(FCが∠DCBの二等分線)
∠DFC=∠FCB(平行線の錯角)
よって∠DCF=∠DFC
2角が等しいので△FDCは二等辺三角形となる。
よってFD=CD・・・①
△GDCにおいて
∠DCG=∠GCE(GCが∠DCEの二等分線)
∠DGC=∠GCE(平行線の錯角)
よって∠DCG=∠DGC
二角が等しいので△GDCは二等辺三角形になる
よってDG=CD・・・②
①、②よりFD=DG


△ADBと△BECにおいて
∠DAB=180°-∠ADB-∠DBA (三角形の内角の和は180°)・・・①
∠EBC=180°-∠ABC-∠DBA (直線の角は180°)・・・②
∠ADB=∠ABC=90°(仮定)・・・③
①、②、③より∠DAB=∠EBC・・・④
AB=BC (仮定)・・・⑤
∠ADB=∠BEC =90°(仮定)・・・⑥
④、⑤、⑥より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ADB≡△BEC
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAD=BE

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