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三角形証明(発展2)

右の図で△ABCと△ADEはともに正三角形である。このときBD=ECとなることを証明しなさい。

A B C D E

△ABCは直角二等辺三角形である。頂点Bを通る直線にA,Cから垂線をおろしその交点をそれぞれD,Eとする。このときBD=CEとなることを証明しなさい。

A B C D E

右の△ABCと△DEFはともに正三角形である。このとき△DBE≡△ECFとなることを証明しなさい。

A B C D E F


△ABDと△ACEにおいて
∠BAC=∠DAE=60°(正三角形の角)より
∠BAD=60°-∠DAC
∠CAE=60°-∠DAC
よって∠BAD=∠CAE・・・①
AB=AC(正三角形の辺)・・・②
AD=AE(正三角形の辺) ・・・③
①、②、③より
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABD≡△ACE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=EC


△ABDと△BCEにおいて
∠ABD=∠ABC-∠CBE
∠ABC=90°(直角二等辺三角形)より
∠ABD=90°-∠CBE・・・①
∠BCE=180°-∠CEB-∠CBE (三角形の内角の和は180°)
∠CEB=90°(垂線)より
∠BCE=90°-∠CBE・・・②
①、②より∠ABD=∠BCE・・・③
∠ADB=∠BEC=90°(垂線)・・・④
AB=CB(直角二等辺三角形)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABD≡△BCE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=CE


DBEと△ECFにおいて
∠BDE=120°-∠DEB (三角形の内角の和が180°で∠DBE=60°)
∠CEF=120°-∠DEB(直線は180°で∠DEF=60°)
よって∠BDE=∠CEF・・・①
∠DBE=∠ECF=60°(正三角形の角)・・・②
三角形の内角の和は180度なので①、②より
∠DEB=∠EFC・・・③
DE=EF(正三角形の辺)・・・④
①、③、④より
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△DBE≡△ECF

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