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平行四辺形になるための証明1

1. 次の問いに答えよ

(1) 図のようにAD//BCの台形ABCDがある。 辺ABの中点をEとしてDEの延長線とCBの延長線の交点をFとする。このとき四角形AFBDが平行四辺形となることを証明せよ。

(2) 図で、△ABCの辺AB上に点Dがあり、 辺ACの中点をMとする。DMの延長上にDM=EMとなる点Eを取る。このとき四角形ADCEは平行四辺形となることを証明せよ。

(3) ABCDで∠ABE=∠CDFのとき四角形EBFDが平行四辺形になること証明せよ。

(4) 図のABCDで∠BAE=∠DCFのとき四角形AECFが平行四辺形となることを証明せよ。

1.

(1)
△AEDと△BEFにおいて
AE=BE(EはABの中点)
∠AED=∠BEF(対頂角)
∠DAE=∠FBE(AD//BCの錯角)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△AED≡△BEF
合同な図形の対応する辺は等しいのでAD=BF
AD//BC(仮定)よりAD//FB
よって一組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形AFBDは平行四辺形となる。 
(2)
四角形ADCEにおいて
AM=CM(MはACの中点)
DM=EM(仮定)
よって対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形ADCEは平行四辺形になる。
(3)
△ABEと△CDFにおいて
AB=CD(ABCDの対辺)
∠ABE=∠CDF(仮定)
∠BAE=∠DCF(ABCDの対角)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
対応する辺は等しいのでAE=CF AD=CB(ABCDの対辺)
ED=AD-AE , FB=CB-CF
よってED=FB・・・①
AD//CB(ABCDの対辺)より ED//FB・・・②
①、②より一組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形EBFDは平行四辺形となる。
(4)  
△ABEと△CDFにおいて
AB=CD(平行四辺形の対辺)
∠ABE=∠CDF(平行線の錯角)
∠BAE=∠DCF(仮定)
よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
対応する辺は等しいのでAE=CF・・・①
対応する角は等しいので∠AEB=∠CFD・・・②
∠AEF=180-∠AEB・・・③
∠CFE=180-∠CFD・・・④
②、③、④より∠AEF=CFE
錯角が等しいのでAE//CF・・・⑤
①、⑤より一組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形AECFは平行四辺形となる。

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