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平行四辺形になるための証明3

1. 図の ABCDでAE=CGである。このとき四角形EFGHが平行四辺形となることを証明せよ。 

2. △ABCでABの中点をM, ACの中点をNとする。MNの延長上にMN=NDとなる点Dを取る。四角形MBCDが平行四辺形になることを証明せよ。

3. 図で△QBC, △PBA, △RACはいずれも正三角形である。このとき四角形QPARが平行四辺形であることを証明せよ。

1.

四角形AGCEにおいて
AE=CG(仮定)・・・①
AD//BC( ABCDの対辺)・・・②
よってAE//CG・・・③
①、③より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形AGCEは平行四辺形になる。
よってAG//CE・・・④
四角形EBGDにおいて
AD=CB( ABCDの対辺)・・・⑤
ED=AD-AE・・・⑥ 、GB=BC-CG・・・⑦
①、⑤、⑥ 、⑦よりED=GB・・・⑧
②よりED//GB・・・⑨
⑧、⑨より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形EBGDは平行四辺形となる。
よってBE//DG・・・⑩
④よりFG//HE
⑩よりEF//GH
よって2組の対辺がそれぞれ平行なので四角形FGHEは平行四辺形となる。

2.

四角形AMCDにおいて
AN=CN(NはACの中点)
MN=ND(仮定)
よって対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形AMCDは平行四辺形となる。… ①
四角形MBCDにおいて
①よりAM//CD( AMCDの対辺)・・・ ②
AM=CD ( AMCDの対辺)・・・ ③
AM=BM (MはABの中点)・・・ ④
② よりMB//CD・・・ ⑤
③、④ よりMB=CD・・・⑥ 
⑤、⑥ より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形MBCDは平行四辺形となる。

3.

△ABCと△PBQにおいて
AB=PB (正三角形PBAの辺)・・・①
BC=BQ (正三角形QBCの辺)・・・②
∠PBA=∠QBC=60°(正三角形の角)より
∠ABC=60°-∠QBA・・・③
∠PBQ=60°-∠QBA・・・④
③、④より∠ABC=∠PBQ・・・⑤
①、②、⑤より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABC≡△PBQ
合同な三角形の対応する辺は等しいので AC=PQ・・・⑥ 
AC=AR (正三角形ACRの辺)・・・⑦
⑥ ⑦よりPQ=AR・・・⑧
△ABCと△RQCにおいて同様にすると
△ABC≡△RQC 合同な三角形の対応する辺は等しいのでAB=RQ・・・⑨
AB=AP (正三角形ABPの辺)・・・⑩
⑨、⑩より、RQ=QP・・・⑪
⑧、⑪より2組の対辺がそれぞれ等しいので四角形PARQは平行四辺形になる。

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