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三角形証明(発展3)

右の図で△ABCと△CDEはともに正三角形である。このとき△BCD≡△ACEを証明せよ。

A B C D E

図で四角形ABCDと四角形CEFGはともに正方形である。このときBG=DEとなることを証明せよ。

A B C D E F G

右の図は正方形ABCDである。頂点Bを通る直線mにAとCからそれぞれ垂線をおろし、その交点をE,Fとするとき、△ABE≡△BCFとなることを証明せよ。

A B C D E F m


△BCDと△ACEにおいて
∠BCD=∠BCA+∠ACD・・・①
∠ACE=∠DCE+∠ACD・・・②
∠BCA=∠DCE=60°(正三角形の角)・・・③
①、②、③より∠BCD=∠ACE・・・④
BC=AC(正三角形の辺)・・・⑤
DC=EC(正三角形の辺)・・・⑥
④、⑤、⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△BCD≡△ACE


△BCGと△DCEにおいて
BC=DC(正方形の辺)・・・①
GC=EC(正方形の辺)・・・②
∠GCB=∠DCB-∠DCG・・・③
∠ECD=∠ECG-∠DCG・・・④
∠DCB=∠ECG=90°(正方形の角)・・・⑤
③、④、⑤より∠GCB=∠ECD・・・⑥
①、②、⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△BCG≡△DCE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBG=DE


△ABEと△BCFにおいて
∠ABC=90°(正方形の角)より
∠ABE=90°-∠FBC ・・・①
内角の和が180°で∠BFC=90°より
∠BCF=90°-∠FBC・・・②
①、②より∠ABE=∠BCF・・・③
AB=BC(正方形の辺)・・・④
∠AEB=∠BFC=90°(垂線)・・・⑤
③、④、⑤より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△BCF

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