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平行四辺形の性質1

1 次の問いに答えよ。

(1) ABCDで∠BAE=∠DCFである。このときAE=CFとなることを証明せよ。

(2) ABCDの∠ABCの二等分線と辺CDの延長線の交点をEとする。このとき△BCEが二等辺三角形になることを証明しなさい。

(3) 図のABCDでAB=AEとなるように辺BC上に点Eをとる。このとき△ABC≡△EADとなることを証明せよ。

(4) ABCDの∠BADと∠CDAのそれぞれの二等分線の交点をEとする。このとき∠AEDは何度になるか求めよ。

1.

(1)
  △ABEと△CDFにおいて
  AB=CD(ABCDの対辺)
  ∠ABE=∠CDF(ABCDの対角)
  ∠BAE=∠DCF(仮定)
  よって1組の辺とその両端の角が
  それぞれ等しいので △ABE≡△CDF
  対応する辺は等しいのでAE=CF
(2)
  △BCEにおいて
  ∠ABE=∠CBE (角の二等分線)
  ∠ABE=∠CEB (AB//CDの錯角)
  よって∠CBE=∠CEB
  二角が等しいので
  △BCEは二等辺三角形となる。 
(3)
  △ABCと△EADにおいて
  AB=EA(仮定)・・・①
  BC=AD(平行四辺形の対辺)・・・②
  ∠ABC=∠AEB(二等辺三角形の底角)・・・③
  ∠EAD=∠AEB(平行線の錯角)・・・④
  ③、④より∠ABC=∠EAD・・・⑤
  ①、②、⑤より
  2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
  △ABC≡△EAD
(4)  
   90°

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