平行四辺形の性質1

次の問いに答えよ。

ABCDで∠BAE＝∠DCFである。このときAE=CFとなることを証明せよ。

ABCDの∠ABCの二等分線と辺CDの延長線の交点をEとする。このとき△BCEが二等辺三角形になることを証明しなさい。

図のABCDでAB=AEとなるように辺BC上に点Eをとる。このとき△ABC≡△EADとなることを証明せよ。

ABCDの∠BADと∠CDAのそれぞれの二等分線の交点をEとする。このとき∠AEDは何度になるか求めよ。

(1)
　 △ABEと△CDFにおいて
　 AB=CD(ABCDの対辺)
　 ∠ABE=∠CDF(ABCDの対角)
　 ∠BAE=∠DCF(仮定)
　 よって1組の辺とその両端の角が
　 それぞれ等しいので　△ABE≡△CDF
　 対応する辺は等しいのでAE=CF
(2)
　 △BCEにおいて
　 ∠ABE=∠CBE　（角の二等分線）
　 ∠ABE=∠CEB　（AB//CDの錯角）
　 よって∠CBE=∠CEB
　 二角が等しいので
　 △BCEは二等辺三角形となる。　
(3)
　 △ABCと△EADにおいて
　 AB=EA(仮定)・・・①
　 BC=AD(平行四辺形の対辺)・・・②
　 ∠ABC=∠AEB(二等辺三角形の底角)・・・③
　 ∠EAD=∠AEB(平行線の錯角)・・・④
　 ③、④より∠ABC=∠EAD・・・⑤
　 ①、②、⑤より
　 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
　 △ABC≡△EAD
(4) 　
　　 90°