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平行四辺形(折り返し)

1. 平行四辺形ABCDをBDを折り目として折り返す。 頂点Cの移る点をEとし、ADとBEの交点をFとするとき△FBDが二等辺三角形になることを証明せよ。

2. 右の図は長方形ABCDの頂点AをCに重ねるように折り返したものである。 そのときの折り目をEF, 頂点Dの移る点をGとする。このとき△EBC≡△FGCとなることを証明しなさい。

3.  ABCDを、辺AB、CDがそれぞれ対角線BDと重なるように折り返す。その折り目がEB、FDである。
(1) △ABE≡△CDFを証明せよ。  (2) (1)の結果を使って四角形EBFDが平行四辺形となることを証明せよ。

1.

△FBDにおいて
∠FBD=∠DBC(折り返した角)
∠FDB=∠DBC(平行線の錯角)
よって∠FBD=∠FDB
2角が等しいので△FBDは二等辺三角形になる。 

2.

△EBCと△FGCにおいて
∠FEA=∠EFC(平行線の錯角)
∠FEA=∠FEC(折り返した角)
よって∠EFC=∠FEC
二角が等しいので△CEFは二等辺三角形となる。
よってCE=CF・・・①
BC=AD(長方形の対辺)
GC=AD(折り返した辺)
よってBC=GC・・・②
∠ECB=90°-∠ECF
∠FCG=90°-∠ECF
よって∠ECB=∠FCG・・・③
①、②、③より2 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△EBC≡△FGC

3.

(1)
△ABEと△CDFにおいて
∠ABD=∠CDB(平行線の錯角)・・・①
∠ABE=∠EBD(折り返した角)・・・②
∠CDF=∠FDB(折り返した角)・・・③
①②③より∠ABE=∠CDF・・・ ④
AB=CD(平行四辺形の対辺)・・・ ⑤
∠BAE=∠DCF(平行四辺形の対角)・・・ ⑥ 
④⑤⑥ より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
(2)
四角形EBFDにおいて
AE=CF((1)より合同な図形の対応する辺)・・・①
AD=CB(平行四辺形の対辺)・・・②
ED=AD-AE・・・③
FB=BC-CF・・・④
①②③④よりED=FB・・・ ⑤
AD//BC(平行四辺形の対辺)よりED//FB・・・ ⑥ 
⑤⑥ より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形EBFDは平行四辺形となる

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