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特別な平行四辺形2

1. 長方形ABCDで、辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれE、F、G、Hとする。このとき、四角形EFGHがひし形となることを証明せよ。

2.  ABCDでM, Nはそれぞれ辺AD, BCの中点である。

(1) 四角形PNQMが平行四辺形となることを証明せよ。

(2) AB=4cm, AD=8cmとする。
① 四角形ABNMはどんな四角形になるか。
② 四角形PNQMはどんな四角形になるか。

3. △ABCの2辺AB, ACの中点をそれぞれD,Eとし、DEの延長上に点FをとってDE=EFとして四角形ADCFをつくる。各問に当てはまる最も適切な答を語群から選び記号で答えよ。

①長方形②ひし形③正方形④平行四辺形

(1) △ABCが∠ACB=90°の直角三角形のとき四角形ADCFはどんな四角形か。
(2) △ABCがAC=BCの二等辺三角形のとき四角形ADCFはどんな四角形か。

4.  ABCDでそれぞれの角から二等分線を引き交点をE, F, G, Hとする。四角形GEHFはどのような四角形になるか。

1.

△AEHと△DGHにおいて
AH=DH(HはADの中点)・・・①
AE=12 AB(EはABの中点)・・・②
DG=12 DC(GはDCの中点)・・・③
AB=DC(長方形ABCDの対辺)・・・④
②、③、④より AE=DG・・・⑤
∠EAH=∠GDH=90°(長方形ABCDの角)・・・⑥
①、⑤、⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AEH≡△DGH 
合同な三角形の対応する辺は等しいのでEH=GH・・・⑦
△EBFと△GCFで同様にすると△EBF≡△GCFとなりEF=GF・・・⑧
△AEHと△BEFで同様にすると△AEH≡△BEFとなりEH=EF・・・⑨
⑦、⑧、⑨より EH=GH=EF=GF
よって四つの辺が等しいので四角形ABCDはひし形となる。

2.

(1)
四角形BNDMにおいて
AD=BC( ABCDの対辺)
MD=AD(MはADの中点)
BN=BC(MはBCの中点)
よってMD=BN・・・①
AD//BC( ABCDの対辺)より MD//BN・・・②
①、②より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形BNDMは平行四辺形となる。
よってBM//ND・・・③
四角形ANCMにおいて
同様にすると四角形ANCMは平行四辺形となる。
よってAN//MC・・・④
③、④より2組の対辺がそれぞれ平行なので四角形PNQMは平行四辺形となる。
(2) ①ひし形  ②長方形   

3.

(1) ②
(2) ①

4.

長方形

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