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相似の証明2

1. ∠ABC=90°の直角三角形の頂点A, Cから直線mにそれぞれ垂線を
おろし、交点をD, Eとする。このとき△ADB∽△BECを証明しなさい。

2. △ABCの頂点B, Cからそれぞれ辺AC, ABに垂線を引き、交点をそれぞれD, Eとする。
(1) △ABD∽△ACEを証明せよ。
(2) AB=9cm, AC=8cm, DがACの中点のときAEの長さを求めよ。

3. 四角形ABCDにおいて対角線AC, BDの交点をEとする。
 ∠ABE=∠EBC, CD=CEが成り立っているとき、
 △ABE∽△CBDとなることを証明せよ。

4. 右の図でAB=6㎝, BD=4㎝, DC=5㎝, AD=4.5㎝である。
(1) 相似な三角形の組を一組答えよ。
(2) (1)を証明しなさい。
(3) ACの長さを求めなさい。

1.

△ADBと△BECにおいて
三角形の内角の和は180°なので∠ADB+∠DAB+∠ABD=180°
∠ADB=90°(垂線)より∠DAB+∠ABD=90°・・・①
直線の角は180°なので∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°
∠ABC=90°(仮定)より∠ABD+∠CBE=90°・・・②
①、②より∠DAB=∠CBE・・・③
∠ADB=∠BEC=90°(垂線)・・・④
③、④より2組の角がそれぞれ等しいので△ADB∽△BEC

2.

(1)  
△ABDと△ACEにおいて
∠BAD=∠CAE(共通)
∠BDA=∠CEA=90°(仮定)
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABD∽△ACE
(2) 32 9 cm

3.

△ABEと△CBDにおいて
∠AEB=∠DEC(対頂角)・・・①
CD=CEより2辺が等しいので△CEDは二等辺三角形
よって∠DEC=∠EDC(二等辺三角形の底角)・・・②
①、②より∠AEB=∠CDB・・・③
∠ABE=∠EBC(仮定)・・・④
③、④より2組の角がそれぞれ等しいので△ABE∽△CBD

4.

(1) △ABCと△DBA 
(2)
△ABCと△DBAにおいて
AB:DB=6:4=3:2(仮定)
BC:BA=9:6=3:2(仮定)
よってAB:DB=BC:BA・・・①
∠ABC=∠DBA(共通)・・・②
①、②より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△DBA
(3)   27 4 cm

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