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相似比と線分1

図の台形ABCDで、AD//EF//BC, AD=10cm, BC=20cm、
AE:EB=DF:FC=2:3である。
EFの長さを求めよ。
A B C D E F

補助線をひいて相似をつくる。(平行線に着目)
よく使われる相似

ACに対角線をひきEFとの交点をGとする。
2 3 5 5 G EF//BCより∠AEG=∠ABC(同位角), ∠A共通となるので
△AEG∽△ABC(2組の角がそれぞれ等しい。)
同様に△CGF∽△CAD
△AEGと△ABCで 
AE:EB=2:3なので AE:AB=2:5(注)

よって相似比が2:5
EG:BC=2:5
EG:20=2:5
EG=8
△CGFと△CADで
CF:FD=3:2なので  CF:CD=3:5
よって相似比が3:5
GF:AD=3:5
GF:10=3:5
GF=6
EF=EG+GF=8+6=14
答 14cm

(注) AEと対応する辺はABである。AE:EBをそのまま使わないようにする。

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