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相似2

次の問いに答えよ

図の△ABCで∠ACB=2∠ABCである。∠ACBの二等分線と辺ABとの交点をDとする。AB=12cm, AC=9cmである。 A B C D ADの長さを求めよ。 BCの長さを求めよ。

図で△ABC∽△ADEである。∠ACE=∠ADEを証明せよ。

A B C D E

図の△ABCで頂点Aから辺BCに垂線をひき、その交点をDとする。また頂点Cから辺ABに垂線をひきその交点をEとする。
ADとCEの交点をFとするとき△ABD∽△CFDを証明せよ。

A B C D E F

27 4 7cm

△ABDと△ACEにおいて
△ABC∽△ADE(仮定)より
対応する角は等しいので∠BAC=∠DAE・・・①
対応する辺の比は等しいのでAB:AD=AC:AEこれを変形してAB:AC=AD:AE・・・②
∠BAD=∠BAC−∠DAC・・・③
∠CAE=∠DAE−∠DAC・・・④
①,③,④より∠BAD=∠CAE・・・⑤
②,⑤より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD∽△ACE
相似の対応する角は等しいので∠ABD=∠ACE・・・⑥
△ABC∽△ADEで対応する角が等しいので∠ABD=∠ADE・・・⑦
⑥, ⑦より∠ACE=∠ADE


△ABDと△CBEにおいて
∠ADB=∠CEB=90°(垂線)
∠ABD=∠CBE(共通)
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABD∽△CBE・・・①
△ABDと△CFDにおいて
①より、相似の対応する角は等しいので∠BAD=∠FCD
∠ADB=∠CDF(垂線)
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABD∽△CFD

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