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直線と放物線の変域が一致するとき

「直線と放物線のyの変域が一致する」とは
「直線と放物線の最大値が同じで、最小値も同じになる。」ことである。

a<0の放物線y=ax2と直線y=-2x+bについて、-4≦x≦2でyの変域が一致する。
aとbの値をそれぞれ求めよ。

通る点が1つ分かれば直線の式は出せる
O x y xの変域 -4 2 yの変域 16a a<0の放物線
xの変域が-4≦x≦2なので、
yの最大値が0になる。
最小値はx=-4のときなので、y=16aとなる。
つまりyの変域は16a≦y≦0
この変域にあうような傾きが負の直線をかく
直線は(-4, 0)と(2,16a)を通る。
y=-2x+bに(-4,0)を代入すると
0=-2×(-4)+b
b=-8
y=-2x-8に(2,16a)を代入すると
16a=-2×2-8
16a=-12
a=-34

放物線y=ax2とm<0の直線y=mx+12について、-2≦x≦6でのyの変域が一致する。
aとmの値をそれぞれ求めよ。

まず、放物線のaがプラスかマイナスかを見極める
x y O -2 6 xの変域 36a yの変域 xの変域が-2≦x≦6
直線の切片が12で、
放物線のaはプラスか、マイナスかわからない。
aがプラスならyの最小値が0,
aがマイナスならyの最大値が0であるが、
直線の切片が6だから最大値が0にはならないので
a>0である。
変域内の放物線だけにすると
図から放物線でx=6のときがyの最大値となり
最小値は0である。
x=6をy=ax2に代入するとy=36a,
つまりyの変域は0≦y≦36a
この変域にあうように傾き負の直線を書くと
直線は(6,0)と(-2,36a)を通ることがわかる。
y=mx+12に(6,0)を代入するとm=-2,
y=-2x+12に(-2, 36a)を代入するとa=49

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