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反比例

反比例とは

yがxの関数で、xとyの関係がy= a x となるとき 「yはxに反比例する」という。
反比例の式
y= a x

aは0ではない定数で、これを比例定数という。
【例】yをxの式で表し、反比例であることを示す。
縦xcm, 横ycmの長方形の面積を12cm2とする。
長方形の面積 = 縦×横なので、 12=xy より y = 12x となるのでyはxに反比例する。
また、比例定数は12である。
250kmの道のりを時速xkmで走るとy時間かかる。
時間 = 道のり÷速さなので
y = 250x となりyはxに反比例する。
比例定数は250である。

【確認】反比例の式を全て選び、記号で答えよ。
y=x8 xy+36=0 -9=yx y=-100x y+3x=3 y=1000-x
【答】 ②, ④

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xの値、yの値

xの値がわかっている場合、y= a x の式に代入してyの値を求める。
また、yの値を代入すればxの値が求まる。
 y= 12 x について
x=2のとき
y= 12 x にx=2を代入するとy= 12 2 =6
y=6となる。

y=4のとき
y= 12 x にy=4を代入すると、4= 12 x
x=3となる。

【確認】  y= 6 x について  
x=-2のときのyの値を求めよ。
y=-3
y=6のときのxの値を求めよ。
x=1

反比例の性質

y= 24 x について表の空らんに適切な数字を入れよ。

x-3-2-10123
y-8 × 2412

上記の表でxが2倍になったとき、yは 1 2 に、 xが3倍になったとき、yは 1 3 になっている。
このようにyがxに反比例する場合、xが2倍、3倍、4倍になるとyは 1 2 1 3 1 4 になる。
さらに、上記例では対応するxとyの積がすべて24になっている。
つまり反比例ではxとyの積(xy)は比例定数aに等しくなる。

反比例ではxが2倍、3倍、4倍・・・になるとyは 1 2 1 3 1 4 ・・・になる。
また、xy=aである。


【確認】xとyの関係がそれぞれの表で表されているとき、yはxに反比例していると言えるか。 また、反比例している場合、yをxの式で表わせ。

x2356y-12-18-30-36
対応するxとyの積が一定ではない
ので反比例していない

x2356y151065
対応するxとyの積 xy=30より
y=30xとなり反比例する。

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反比例の式を求める

yがxに反比例するとわかっている場合、対応するxとyの積で比例定数を求める。xy = a
【例】 yがxに反比例し、x=4のとき、y=-6である。反比例の式を求めよ。
xy = 4×(-6)=-24より
y = -24x

【確認】次の問いに答えよ。
yがxに反比例し、x=2のとき、y=8である。比例定数を求めよ。
16
yがxに反比例し、x=3のとき、y=-6である。比例定数を求めよ。
-18
yがxに反比例し、x=36のとき、y=2である。yをxの式で表わせ。
y=72x
yがxに反比例し、x=-4のとき、y=12である。yをxの式で表わせ。
y=-48x

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