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比例

比例とは

比例の式
y=ax

yがxの関数で、xとyの関係がy=axとなるとき 「yはxに比例する」という。
y=axの式で、aは比例定数である。

【例1】比例の式と比例定数
8x+2(y+3)=6
かっこを開いて整理すると
8x+2(y+3)=6
8x+2y+6=6
2y=-8x+6-6
2y=-8x
y=-4x
y=axの形になっているので比例である。
比例定数は -4
y=x8
これはy=18x
となり y=axの形になるので比例である。
比例定数は18

【例2】比例かどうか
高さ4cmで、底辺の長さxcmの三角形の面積がycm2である。
三角形の面積 = 底辺×高さ÷2なので
y = x×4÷2
y=2x
y=axの形になっているので比例である。比例定数は2
1辺xcmの正方形の面積がycm2である。
正方形の面積 = 1辺×1辺なので
y = x2
xが2乗になっているので比例ではない。
1本80円の鉛筆をx本買って1000円出したときのお釣りがy円である。
y=1000-80x
y=axの形ではないので比例ではない。
時速40kmでx時間走った道のりがykmである。
道のり =速さ×時間なので
y = 40x
比例である。比例定数は40


【確認】
比例の式をすべて選べ。
y=x y=4x 2x-3y=0 2(6x+y)=2 y=-x2
【答】 ①③⑤

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xの値、yの値

xの値がわかっている場合、y=axの式に代入してyの値を求める。
また、yの値を代入すればxの値が求まる。
例 y=8xについて
x=5のとき
y=8xにx=5を代入するとy=8×5=40
y=40となる。

y=24のとき
y=8xにy=24を代入すると、24=8x
x=3となる。

確認
y=12xについて
x=-2のときのyの値を求めよ。
y=-24
y=6のときのxの値を求めよ。
x= 1 2

比例の性質

y=2xについて表の空らんに適切な数字を入れよ。

x01234
y0 8

上記の表でxが1から2へと2倍になったとき、yも2から4へと2倍になっている。
xが1から3へ3倍になったときもyは2から6へと3倍になる。
このようにyがxに比例する場合、xが2倍、3倍、4倍になるとyも同じく2倍、3倍、4倍になる。
比例ではxが2倍、3倍、4倍・・・になるとyも2倍、3倍、4倍・・・になる。
また、対応するxとyについて、yxの値が すべて2になっている。
比例では対応するxとyについてyxの 値が一定で、比例定数になる。
【例】
xとyの関係が次の表で表されている場合。
x01234y0-3-6-9-12
xが1→2と2倍になるとき、yも-3→-6と2倍になり、xが1→3と3倍になればyも-3→-9と3倍になっているので
yはxに比例している。
また、対応するxとyについてyxの 値がすべて-3となっているので、ここからもyがxに比例していることがわかる。
さらに比例定数が-3とわかるのでyをxの式で表すと y=-3xとなる。

【確認】
xとyの関係がそれぞれの表で表されているとき、yはxに比例していると言えるか。
また、比例している場合、yをxの式で表わせ。
x036912y02468
いえる y=23x

x02357y0-10-15-25-35
いえる y=-5x

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比例の式を求める

yがxに比例するとわかっている場合 y = ax にxとyを代入して比例定数aを求める。
【例】
yがxに比例し、x=3のときにy=12である。
y=axにx=3, y=12を代入すると
12=3a
a=4
よって 比例定数が4で、式は y= 4x となる。

【確認】
次の問いに答えよ。
yがxに比例し、x=2のときにy=6である。比例定数を求めよ。
3
yがxに比例し、x=4のときにy=-8である。比例定数を求めよ。
-2
yがxに比例し、x=-5のときにy=-20である。yをxの式で表わせ。
y=4x
yがxに比例し、x=6のときにy=-4である。yをxの式で表わせ。
y=-23x

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