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おうぎ形の弧、面積の出し方

おうぎ形とは・・・ 2つの半径と弧で囲まれた図形→つまり円の一部である。
そこでまず、円とおうぎ形の関係を考えてみると、
図1
en.gif(2232 byte)
図2
ougi.gif(1102 byte)

図1は半径12cmの円を三等分した図である。三等分したので、全く同じおうぎ形が3つできている。
そのうち1つを取り出したものが図2である。
図2のおうぎ形が3つ集まって図1の円ができているので、図2のおうぎ形の面積は図1の円の面積の3分の1であり、 弧の長さも、中心角も同じように円の3分の1となる。
つまり、図2のおうぎ形は面積、弧、中心角すべて円の3分の1になる。
おうぎ形の面積
図1の円の面積を出すと 12×12×π=144π
図2のおうぎ形はこれの3分の1なので 144π×13=48π
弧の長さ
図1の円の円周を出すと 12×2×π=24π
図2のおうぎ形はこれの3分の1なので 24π×13=8π
中心角
円の中心角は360°
図2のおうぎ形はこれの3分の1なので 360×13=120
このようにおうぎ形が円の3分の1とわかればその分数を使って面積・弧・中心角を出すことができる。

1. 中心角40°、半径6cmのおうぎ形の面積と弧の長さを求めよ。

半径6cmの円とおうぎ形を表にして比較すると
おうぎ形中心角360°40°面積36π 円周・弧12π 
この例題では中心角が分かっているのでそれを比べる。 40÷360=19 となるので、このおうぎ形は円の9分の1であることが分かる。
よって面積は36π×19=4π
弧の長さは12π×19=43πとなる。

例題1では中心角をくらべて9分の1とわかったが、中心角が分からずに弧の長さだけが分かる場合は、円周と弧の長さを比べて「何分の何」になるのかを出して計算する。

2.  半径10cm, 弧の長さ6πcmのおうぎ形の面積、中心角を求めよ。

例題1と同じように表にまとめると、
おうぎ形中心角360° 面積100π 円周・弧20π
円周と弧を比べると6π÷20π=310 つまり、このおうぎ形は円の310である。
よって面積は100π×310 =30π
中心角は 360°×310 =108°

半径を出す問題

3 弧の長さ4πcm, 面積24πcm2のおうぎ形の半径を求めよ。

この例題は少し難しいので、例題2で面積を出した式の復習から考える。
例題2でおうぎ形が円の310とわかったのは円周が20π、弧が6πだったからである。
つまり、 100π×20π=30π
↑100πは円の面積、6πはおうぎ形の弧の長さ、20πは円周、30πはおうぎ形の面積である。
例題3では半径が分からないので半径をxとすると
円の面積はπx2、おうぎ形の弧の長さ4π, 円周が2πx, おうぎ形の面積が24πなのでこれをそのまま当てはめてみる。
πx2 × 2πx = 24π
この方程式を解くとx=12となる。

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