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最短経路の作図

2点を結ぶ最短経路は直線
(1)直線l上に点Pをとる。
線分の長さの和 AP+PBが最小となるような点Pを作図によって求めよ。
lAB
(2) 半直線OA上に点P, OB上に点Qをとる。
線分の長さの和 CP+PQ+QCが最小となるようなP,Qを作図によって求めよ。
ABCO
(1) 直線lを軸に点Aを対称移動した点をA'とする。
直線lはAA'の垂直二等分線なので, 点Pが直線l上のどこにあっても
AP=A'Pとなるので,AP+PB=A'P+PBである。
A'P+PBが最小になるのはA'からBへの最短経路, すなわち直線のときである。
よって, 直線A'Bとlとの交点が点Pとなる。
lABA'P

(2) OAを軸に点Cを対称移動した点をC',
OBを軸に点Cを対称移動した点をC''とする。
OAは線分CC'の垂直二等分線なので
OA上の点Pに対してCP=C'Pとなる。
同様にOB上の点Qに対して, CQ=C'Qである。
C'P+PQ+QC''が最小になるとは
C'からC''の最短経路のことである。
よって, 直線C'C''とOAとの交点がP, OBとの交点がQとなる。
ABCOC'C''PQ

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