おうぎ形

おうぎ形とは

弧の両端を通る半径とその弧によって囲まれた図形をおうぎ形という。
おうぎ形は円の一部である。
また、おうぎ形で2つの半径がつくる角を中心角という。

中心角に比例

1つの円では,
おうぎ形の弧の長さは中心角に比例する。
おうぎ形の面積は中心角に比例する。

【例】
中心角が25°のおうぎ形はどれも同じ面積,同じ弧の長さなので,
中心角が2倍の50°になれば面積,弧の長さともに2倍になり,
中心角が3倍の75°になれば面積,弧の長さともに3倍になる。

弧の長さ,面積

おうぎ形の弧の長さや面積は中心角に比例するので,
おうぎ形の弧の長さや,面積を求めるには,
円周の長さや,円の面積に 中心角360° をかければよい。
半径rで中心角がaのおうぎ形
弧の長さ l = 2πr × a 360 　
面積 S = πr² × a 360

【例】半径18cm, 中心角40°のおうぎ形
弧の長さ=36π×40360=4π (cm)
面積=324π×40360=36π (cm²) 例題動画　半径と中心角から面積・弧を求める

【例】半径6cm, 弧の長さ5πcmのおうぎ形の中心角
中心角をa°とおくと
5π = 12π× a360
a = 150　
中心角150°
半径と弧から面積を求める場合や,　半径と面積から弧の長さを求める場合は
上記の例のように中心角を求めてから公式に当てはめれば良い。 例題動画　半径と弧から面積を求める

S= 12lr 　(2年)

半径rcm, 弧の長さlcmの
おうぎ形の面積をScm²とすると,
S=12lr
が成り立つ。
説明 l=2πr×a360…①
S=πr²×a360…②
①をaについて解くと
a=180lπr
これを②に代入すると
S=πr²×180l360πr
S=12lr

【例】
① 半径7cm, 弧の長さ8πcmのおうぎ形の面積
　面積 = 7×8π÷2 = 28π cm²

② 面積24πcm², 弧8πcmのおうぎ形の半径
　24π = 8π×r÷2
r = 6 cm