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おうぎ形の弧の長さ、面積

おうぎ形の面積や弧の長さを求めるには
そのおうぎ形が円の何分のいくつかわかればよい。

12cm 例1 図のおうぎ形は半径12cmの円の 1 5 である。
するとこのおうぎ形は中心角、弧、面積すべてが
半径12cmの円の 1 5 となる。
半径12cmの円の面積は144πcm2、円周は24πcm、中心角360°
よっておうぎ形の面積は 144π× 1 5 = 144π 5
おうぎ形の弧の長さは24π× 1 5 = 24π 5
中心角は360× 1 5 =72°となる。

中心角、弧、面積のうちどれかひとつわかっていれば円の何分のいくつなのかわかる。

中心角120°のおうぎ形・・・円の中心角が360なので 120 360 = 1 3 半径が6cmで、弧の長さが3πcmのおうぎ形・・・円周=2π×6=12πなので 12π = 1 4

この関係を使うとおうぎ形の面積や弧の長さを求めることができる。

例2
半径20cm、中心角36°のおうぎ形がある。
半径20cmの円の円周は40πcm, 面積は400πcm2である。
また、中心角36°なので、このおうぎ形は円の 36 360 = 1 10 である。
よって弧の長さは 40π× 1 10 = 4π
面積は 400π× 1 10 = 40πとなる。
半径18cm, 弧の長さ8πcmのおうぎ形がある。
半径18cmの円の面積は324πcm2、円周は36πcmである。
円周36πと弧8πから、このおうぎ形は円の 36π = 2 9 となる。
よって面積は324π× 2 9 = 72πとなる

半径rcm、中心角a°のおうぎ形

半径rcmの円は中心角360°、円周2πr, 面積πr2である。
おうぎ形の中心角がa°、円の中心角360°なので、このおうぎ形は円の a 360 となる。
よって、弧の長さl,面積Sとすると
l=2πr× a 360 、  S = a 360 ×πr2

半径rcm、弧の長さlcmのおうぎ形

半径rcmの円は円周2πr, 面積πr2である。
扇形の弧の長さl、円周2πrから、このおうぎ形は円の l 2πr となる。
S= l 2πr ×πr2 = 1 2 lr

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