三平方の定理3

図の円Oの弦ABの長さを求めよ。

ABCDでAB=6cm,BC=9cmである。∠BAC=90°のとき対角線BDの長さを求めよ。

図の円Oは半径3cmの円である。Pは接点でAO=8cmのとき接線APの長さを求めよ。

図の三角形で辺ABの長さを求めよ。

図のように1組の三角定規を重ねたとき重なりの部分(影をつけた部分)の面積を求めよ。

図でA,B,Cは円Oの円周上の点である。Oは中心、ABは直径、∠COB=60°、BC=4cmのときACの長さを求めよ。

半径3cmの円Oと半径5cmの円O’があり、A,Bを接点とする共通接線ABがひかれている。中心間の距離OO’=17cmのとき線分ABの長さを求めよ。

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三平方の定理要点

三平方の定理三平方の定理平面での利用特別な直角三角形三平方の定理立体での利用

三平方の定理練習問題

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三平方の定理 pcスマホ問題

三平方の定理基本問題L1-1 2 3 4 5

8 3 ｃｍ

3 21 ｃｍ

55 ｃｍ

3 7 ｃｍ

12 3 ｃｍ²

4 3 ｃｍ

15ｃｍ

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練習問題各単元の要点 pcスマホ問題数学の例題

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OからABに下ろした垂線とABとの交点をPとすると、△OPA≡△OPBなので
AB=xとするとAP=x2となる。
直角三角形OAPでOA=8,OP=4,AP=x2より
(x2)²+4²=8²
x²4+16=64
x² = 192
x>0よりx=83

AB=6で、BC=9, ∠BAC=90°なので
三平方の定理よりAC=35である。
DからBCの延長線上に垂線をおろし、交点をPとすると、
2つの直角三角形DBPとDCPができる。
△DCPは
∠DCP=∠CBA(平行線の同位角)
∠DPC=∠CAB=90°なので△DCP∽△CBA　となる。
対応する辺CDとBCは6:9=2:3なので
2:3=DP:35
DP=25
2:3=CP:6
CP=4
△DBPで三平方の定理を使うと
BD²=13²+(25)² =189
BD=±321
BD>0よりBD=321

「接線は接点を通る半径と垂直に交わる」ので
∠OPA=90°である。
直角三角形OPAで AP=xcm, OP=3cm, OA=8cmなので
x²+3²=8²
x² = 55
x>0よりx=55

BCの延長線上に点Aから垂線をおろし、交点をDとする。
すると△ACDは60°、30°、90°の特別な直角三角形になる。
辺の比がAC:CD:AD = 2:1:3で
AC =6なので　
AC:CD = 6:CD = 2:1
CD = 3
AC:AD = 6:AD = 2:3
AD = 33

直角三角形ABDの辺はAD = 33、 BD = 3+3 =6
AB = xとして三平方の定理にあてはめると
x² = (33)² + 6²
x² = 27 + 36 = 63
x = ± 37
x > 0 より　x =37

面積を求める△FBCは30°、60°、90°の直角三角形である。
辺BCは直角二等辺三角形△ABCの等辺なので
BC:12 = 1:2
BC=62となる。
BC:FC=3:1より
62:FC=3:1
FC=26
底辺26で、高さ62なので
面積=　26×62÷2 =612 = 123

∠CABは弧CBに対する円周角で、∠COBは弧CBに対する中心角である。
等しい弧に対する円周角は中心角の 1/2 なので ∠CAB=30°
∠ACBは直径に対する円周角なので ∠ACB=90°
△ABCは60°、30°、90°の直角三角形となるので
AB:CB:AC=1:1:3
AC=x, CB=4なので
4:x =1:3
x=43

ABに平行な線をO'を通るように引き、
OAの延長との交点をCとする。
すると四角形CABO'が長方形になる。
OO'に線を引くと直角三角形COO'ができるので
この直角三角形で三平方の定理を使う。
OO'=17, AC=BO'=5, OA=3, つまりOC=8
よってCO'² + 8²=17² 計算するとCO'=15
CO'=ABなので　AB=15