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三平方の定理3

図の円Oの弦ABの長さを求めよ。

O A B 8cm 4cm

ABCDでAB=6cm,BC=9cmである。∠BAC=90°のとき対角線BDの長さを求めよ。

A B C D

図の円Oは半径3cmの円である。Pは接点でAO=8cmのとき接線APの長さを求めよ。

A O P

図の三角形で辺ABの長さを求めよ。

A B C 120° 3cm 6cm

図のように1組の三角定規を重ねたとき重なりの部分(影をつけた部分)の面積を求めよ。

12cm 12cm 45° 60°

図でA,B,Cは円Oの円周上の点である。Oは中心、ABは直径、∠COB=60°、BC=4cmのときACの長さを求めよ。

A B O C

半径3cmの円Oと半径5cmの円O’があり、A,Bを接点とする共通接線ABがひかれている。中心間の距離OO’=17cmのとき線分ABの長さを求めよ。

A B O O'
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8 3 cm

3 21 cm

55 cm

3 7 cm

12 3 cm2

4 3 cm

15cm

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OからABに下ろした垂線とABとの交点をPとすると、△OPA≡△OPBなので
AB=xとするとAP=x2となる。
直角三角形OAPでOA=8,OP=4,AP=x2より
(x2)2+42=82
x24+16=64
x2 = 192
x>0よりx=83
OAB8cm4cmP

AB=6で、BC=9, ∠BAC=90°なので
三平方の定理よりAC=35である。
DからBCの延長線上に垂線をおろし、 交点をPとすると、
2つの直角三角形DBPとDCPができる。
ABCDP 693√5
△DCPは
∠DCP=∠CBA(平行線の同位角)
∠DPC=∠CAB=90°なので△DCP∽△CBA となる。
対応する辺CDとBCは6:9=2:3なので
2:3=DP:35
DP=25
2:3=CP:6
CP=4
ABCDP 693√5245
△DBPで三平方の定理を使うと
BD2=132+(25)2 =189
BD=±321
BD>0よりBD=321

「接線は接点を通る半径と垂直に交わる」ので
∠OPA=90°である。
直角三角形OPAで AP=xcm, OP=3cm, OA=8cmなので
x2+32=82
x2 = 55
x>0よりx=55
AOPx8cm3cm

BCの延長線上に点Aから垂線をおろし、交点をDとする。
すると△ACDは60°、30°、90°の特別な直角三角形になる。

辺の比がAC:CD:AD = 2:1:3
AC =6なので 
AC:CD = 6:CD = 2:1
CD = 3
AC:AD = 6:AD = 2:3
AD = 33
ABC120°3cm6cm6cm D

直角三角形ABDの辺はAD = 33、 BD = 3+3 =6
AB = xとして三平方の定理にあてはめると
x2 = (33)2 + 62
x2 = 27 + 36 = 63
x = ± 37
x > 0 より x =37
ABC120°3cm6cm6cm3cm3cm3√33√3 D

面積を求める△FBCは30°、60°、90°の直角三角形である。
辺BCは直角二等辺三角形△ABCの等辺なので
BC:12 = 1:2
BC=62となる。
BC:FC=3:1より
62:FC=3:1
FC=26
底辺26で、高さ62なので
面積= 26×62÷2 =612 = 123
12cm12cm45°60°ABEF6√2cmCD2√6cm30°

∠CABは弧CBに対する円周角で、∠COBは弧CBに対する中心角である。
等しい弧に対する円周角は中心角の 1/2 なので ∠CAB=30°
∠ACBは直径に対する円周角なので ∠ACB=90°
△ABCは60°、30°、90°の直角三角形となるので
AB:CB:AC=1:1:3
AC=x, CB=4なので
4:x =1:3
x=43
ABOC60°4cmx

ABに平行な線をO'を通るように引き、
OAの延長との交点をCとする。
すると四角形CABO'が長方形になる。
OO'に線を引くと直角三角形COO'ができるので
この直角三角形で三平方の定理を使う。
OO'=17, AC=BO'=5, OA=3, つまりOC=8
よってCO'2 + 82=172 計算するとCO'=15
CO'=ABなので AB=15
ABOO'C

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