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三平方の定理 座標平面の特別な直角三角形

図の直線lは y=34x のグラフで, 点P,Qはともに直線lのグラフ上の点である。
点Aの座標が(8,0)で, △PQAが正三角形のとき線分PQの長さを求めよ。
OPQA(8, 0)xyl
解説動画 【点と直線の距離】
△ABCで面積と辺ABの長さがわかる場合
点Cから直線ABにおろした垂線の長さhは
面積 = ABの長さ×h÷2 の方程式から求められる
<>ABCh


PQOA(8, 0)xylB(8,6) 点Aから直線lにおろした垂線の長さを求める。
直線l上のx=8の点をBとする。
B(8, 6)となり, BA=6, OA=8なので
△BOAの面積 = 6×8÷2 =24
OBの長さ =62+82=10

PQOA(8, 0)xylB(8,6)10面積24C 点Aから直線lにおろした垂線と
直線lとの交点をCとすると
24= 10×AC÷2
AC=245

PQOA(8, 0)xylB(8,6)245C △PQAが正三角形なので
△PCAは∠CPA=60°,∠PAC=30°の直角三角形
つまりPC:CA=1:3
よって
PC:245=1:3
PC=835
PQ=PC×2なので
PQ = 1635

【練習】

図の直線lはy=7x, 点P,Qはともに直線l上にある。
点Aの座標が(2,0)で∠PAQ=90°, PA=QAのとき
線分PAの長さを求めよ。
A(2,0)xyOPQl
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