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三平方の定理_最短経路

立体表面を通る、最短の道のりを求めるには
展開図を描いて直線を引く。


【例題1】
  底面が長方形の四角柱がある。
AP+PGの長さが最小になるように
辺BD上に点Pをとる。
このときのAP+PGの長さを求めよ。
ABCDEFGHP9cm8cm5cm
展開図を描くと、線分AGは
長方形AEGCの対角線となっている。
直角三角形AEGでAE=9cm, EG=13cmより
AG2 = 92+132
AG2 = 250
AG > 0より
AG = 510
よって AP+PG =510 cm
ABCDEFGHCGHDDHP展開図9cm8cm5cm

【練習】

点Bから側面を通って点Fまで行くときの
最短の道のりの長さを求めよ。
ABCDEFGH8cm6cm6cm底面が正方形の四角柱 810cm
点Bから側面を通ってEまで行くときの
最短の道のりの長さを求めよ。
ABCDEF6cm3cm4cm底面が直角三角形の三角柱 65cm

【例題2】
  側面が正三角形の正四角錐がある。
ABの中点Pから、辺ACを通って
Dまで行くときの最短の道のりの長さを求めよ。
ABCDP12cm6cm側面が1辺12cmの正三角形の正四角錐E
展開図を描いて、PからDまで直線を引く。 ABCDEBDEP60°60°12cm6cm展開図 △APDは∠PAD=120°、AP=6cm, AD=12cmである。
PからADの延長線上に垂線を下ろしてその交点をQとする。
APDQ12cmx6cm120° △PAQが30°,60°,90°の直角三角形になるので
PA:AQ:PQ=2:1:3になる。
よってAQ=3cm, PQ=33cm
直角三角形PDQで
PD=x, DQ=15cm, PQ=33cmより
x2 = 152 + (33)2
x2 = 252
x>0より x=67
APDQ12cmx6cm120°3cm33
【練習】それぞれの図形で点Pから辺ACを通ってDまで行くときの最短の道のりの長さを求めよ。

ABCDP正四面体6cm2cm 213cm ABCDEP6cm23cm正四角錐側面の二等辺三角形の頂角が75° 221cm

【例題3】   底面の半径2cm, 母線の長さ8cmの円錐で
底面の円周上にある点Aから側面を1周してAまで戻るときの
最短の道のりの長さを求めよ。
2cm8cmAO
展開図を描くと
側面のおうぎ形は半径8cm、弧の長さ4πcmである。
おうぎ形の中心角をx°とすると
2π×8×x360=4π
x = 90
2cm8cm90°AA'O すると、△OAA'が直角二等辺三角形となるので
AA'=82 cm
【練習】
ABは底面の直径である。
側面を通ってAからBまで行くときの
最短の道のりの長さを求めよ。
OAB6cm4cm 63cm
点Aは底面の円周上の点である。
OA上の点Pから側面を1周するように
Aまで行くときの最短の道のりの
長さを求めよ。
OAP6cm1cm2cm 27cm

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