三平方の定理_最短経路

立体表面を通る、最短の道のりを求めるには
展開図を描いて直線を引く。

【例題1】
　底面が長方形の四角柱がある。
AP+PGの長さが最小になるように
辺BF上に点Pをとる。
このときのAP+PGの長さを求めよ。解説動画 ≫ 展開図を描くと、線分AGは
長方形AEGCの対角線となっている。
直角三角形AEGでAE=9cm, EG=13cmより
AG² = 9²+13²
AG² = 250
AG > 0より
AG = 510
よって　AP+PG =510 cm
【練習】

点Bから側面を通って点Fまで行くときの
最短の道のりの長さを求めよ。
810cm 点Bから側面を通ってEまで行くときの
最短の道のりの長さを求めよ。
65cm

【例題2】
　側面が正三角形の正四角錐がある。
ABの中点Pから、辺ACを通って
Dまで行くときの最短の道のりの長さを求めよ。解説動画 ≫ 展開図を描いて、PからDまで直線を引く。 △APDは∠PAD=120°、AP=6cm, AD=12cmである。
PからADの延長線上に垂線を下ろしてその交点をQとする。 △PAQが30°,60°,90°の直角三角形になるので
PA:AQ:PQ=2:1:3になる。
よってAQ=3cm, PQ=33cm
直角三角形PDQで
PD=x, DQ=15cm, PQ=33cmより
x² = 15² + (33)²
x² = 252
x>0より x=67 【練習】それぞれの図形で点Pから辺ACを通ってDまで行くときの最短の道のりの長さを求めよ。

213cm 221cm

【例題3】　底面の半径2cm, 母線の長さ8cmの円錐で
底面の円周上にある点Aから側面を1周してAまで戻るときの
最短の道のりの長さを求めよ。解説動画 ≫ 展開図を描くと
側面のおうぎ形は半径8cm、弧の長さ4πcmである。
おうぎ形の中心角をx°とすると
2π×8×x360=4π
x = 90 すると、△OAA'が直角二等辺三角形となるので
AA'=82 cm 【練習】
ABは底面の直径である。
側面を通ってAからBまで行くときの
最短の道のりの長さを求めよ。
63cm 点Aは底面の円周上の点である。
OA上の点Pから側面を1周するように
Aまで行くときの最短の道のりの
長さを求めよ。
27cm