三平方の定理

三平方の定理とは

三平方の定理とは直角三角形の三辺の長さに関する定理である。
ピタゴラスの定理とも呼ばれる。
三平方の定理
直角三角形の斜辺をc、他の辺をa,bとすると次の関係が成り立つ。
a²+b²=c²

三平方の定理の証明

AB=c, BC=a, AC=b, ∠ACB=90°の直角三角形ABCと合同な直角三角形を図のように並べて正方形ABDFをつくる。
正方形ABDFの面積をSとすると、1辺がcなので　S=c² …①

また、正方形ABDFは△ABCと合同な三角形4つと正方形EGHCでできている。
△ABCの面積は 12ab,
正方形EGHCは1辺が(a-b)なので面積は(a-b)²
よってS=4×(12ab)+ (a-b)²=2ab+a²-2ab+b²=a²+b²…②
①、②より　a² + b² = c²
三平方の定理の証明には他にも様々な方法がある。
証明2 証明3

三平方の定理の使い方

直角三角形の2辺がわかっている場合、三平方の定理を用いて残りの1辺を出すことが出来る。
どれが斜辺になるかを間違えないように注意する!! 【例】
(1) 斜辺がxなので
1²+2²=x²
x² = 5
x > 0 より　x= 5 (2) 斜辺が13なので
x²+12²=13²
x²=25
x>0より　x=5
【確認】 図のxを求めよ。答表示

1²+3²=x²
x²=10
x>0よりx=10
x²+12²=15²
x²=81
x>0よりx=9
7²+24²=x²
x²=625
x>0よりx=25
x²+6²=7²
x²=13
x>0よりx=13

三平方の定理の逆

△ABCで、BC=a, CA=b, AB=c とする。
　　a²+b²=c²なら ∠C=90°である。
【例】
次の長さを3辺とする三角形は、直角三角形となるかを判断する。
最も長い辺をcとしてa²+b²=c²の関係が成り立てば直角三角形である。
(1) 7ｃｍ, 　5ｃｍ, 　26ｃｍ
7が最も長いので c² = 49
a²+b² = 25 + 24 =49
よってa²+b² = c²となるので
直角三角形である。 (2) 9ｃｍ, 　8ｃｍ, 　4ｃｍ
9が最も長いのでc² = 81
a²+b² = 64 + 16 =80
よってa²+b² ≠ c²となるので
直角三角形ではない。

【確認】 次の長さを3辺とする三角形のうち、直角三角形をすべて選べ。答表示
ア) 5, 6, 7　イ) 52, 1, 7　 ウ) 20, 16, 12　エ) 9, 10, 65 　オ) 8, 15, 7
イ、ウ、オ

特別な直角三角形

三角定規になっている直角二等辺三角形と、正三角形を半分にした三角形は角度がそれぞれ 45°, 45°, 90°　と　30°, 60°, 90°となり、3辺の長さの比が次のようになる。

特別な直角三角形の3辺の比

説明
角度から特別な直角三角形だということがわかれば、1辺の長さから他の2辺の長さを出すことができる。

【例】
x, yの値を求める。
(1)
45°の角をもつ直角三角形なので
AB:AC:BC=1:1:2である。
よって
6:x = 1:1　より x=6
6:y = 1:2より y=62 (2)
60°の角がある直角三角形なので
AB:AC:BC=2:1:3である。
よって
x:6=1:3 より x=23
y:6=2:3　より y = 43

【確認】　xやyを求めよ。答表示

x=43, y=4
x=22