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三平方の定理

三平方の定理とは

三平方の定理とは直角三角形の三辺の長さに関する定理である。
ピタゴラスの定理とも呼ばれる。
三平方の定理
直角三角形の斜辺をc、他の辺をa,bとすると次の関係が成り立つ。
a2+b2=c2 abc

三平方の定理の証明


AB=c, BC=a, AC=b, ∠ACB=90°の直角三角形ABCと合同な直角三角形を図のように並べて正方形ABDFをつくる。
正方形ABDFの面積をSとすると、1辺がcなので S=c2 …①

また、正方形ABDFは△ABCと合同な三角形4つと正方形EGHCでできている。
△ABCの面積は 12ab,
正方形EGHCは1辺が(a-b)なので面積は(a-b)2
よってS=4×(12ab)+ (a-b)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2…②
①、②より a2 + b2 = c2
ABCDEFGHacbacb

三平方の定理の証明には他にも様々な方法がある。
証明2 証明3

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三平方の定理の使い方

直角三角形の2辺がわかっている場合、三平方の定理を用いて残りの1辺を出すことが出来る。
どれが斜辺になるかを間違えないように注意する!! 【例】
(1) 12x 斜辺がxなので
12+22=x2
x2 = 5
x > 0 より x= 5
(2) x1213 斜辺が13なので
x2+122=132
x2=25
x>0より x=5

【確認】 図のxを求めよ。
13x
12+32=x2
x2=10
x>0よりx=10
x1215
x2+122=152
x2=81
x>0よりx=9
724x
72+242=x2
x2=625
x>0よりx=25
x67
x2+62=72
x2=13
x>0よりx=13

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三平方の定理の逆

△ABCで、BC=a, CA=b, AB=c とする。
  a2+b2=c2なら ∠C=90°である。
ABCabc

【例】
次の長さを3辺とする三角形は、直角三角形となるかを判断する。
最も長い辺をcとしてa2+b2=c2の関係が成り立てば直角三角形である。
(1) 7cm,  5cm,  26cm
7が最も長いので c2 = 49
a2+b2 = 25 + 24 =49
よってa2+b2 = c2となるので
直角三角形である。
(2) 9cm,  8cm,  4cm
9が最も長いのでc2 = 81
a2+b2 = 64 + 16 =80
よってa2+b2 ≠ c2となるので
直角三角形ではない。


【確認】 次の長さを3辺とする三角形のうち、直角三角形をすべて選べ。
ア) 5, 6, 7 イ) 52, 1, 7  ウ) 20, 16, 12 エ) 9, 10, 65  オ) 8, 15, 7
イ、ウ、オ

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特別な直角三角形

三角定規になっている直角二等辺三角形と、正三角形を半分にした三角形は角度がそれぞれ 45°, 45°, 90° と 30°, 60°, 90°となり、3辺の長さの比が次のようになる。

特別な直角三角形の3辺の比
45°45°112 60°30°123

説明
角度から特別な直角三角形だということがわかれば、1辺の長さから他の2辺の長さを出すことができる。

【例】
x, yの値を求める。
(1) 45°6xyABC
45°の角をもつ直角三角形なので
AB:AC:BC=1:1:2である。
よって
6:x = 1:1 より x=6
6:y = 1:2より y=62
(2) xy660°ABC
60°の角がある直角三角形なので
AB:AC:BC=2:1:3である。
よって
x:6=1:3 より x=23
y:6=2:3 より y = 43

【確認】 xやyを求めよ。
60°8xyABC
x=43, y=4
45°4x
x=22

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