三平方の定理
三平方の定理とは
三平方の定理とは直角三角形の三辺の長さに関する定理である。
ピタゴラスの定理とも呼ばれる。
三平方の定理
直角三角形の斜辺をc、他の辺をa,bとすると次の関係が成り立つ。
a2+b2=c2
証明
頂点Bから辺ACに垂線をひき、その交点をDとする。
△ABCと△ADBにおいて
∠ABC=∠ADB=90°、∠Aが共通
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△ADB
同様に△ABC∽△BDCになる。
△ABC:△ADB:△BDCの相似比はc:a:bとなり、
面積比はc2:a2:b2となる。
ところが△ADBと△BDCの面積の和が△ABCの面積になるので
a2+b2=c2となる
直角三角形の辺の長さを出す
直角三角形の2辺の長さがわかっていて、残りの辺の長さを出す場合、
求める辺の長さをxにして、定理に代入して求める。
【例】
ABをxとして, x, 8, 10を三平方の定理に代入すると
x2+82=102
x2+64=100
x2=100-64
x2=36
x=±6, x>0よりx=6
斜辺を代入する場所を間違えないように!!
【確認】 xを求めよ。
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学習 コンテンツ
目次
- 正負の数
要点
正の数・負の数 正負の加法、減法 加法減法の混ざった計算 正負の数の乗法除法累乗 四則計算、分配法則例題
絶対値正負の数の大小正負の数の大小2逆数３数以上の乗法乗法除法の混ざった計算累乗を含む乗法除法累乗を含む四則計算累乗とかっこを含む四則計算正負の数の利用(平均)正負の数の利用(正負の判定)練習問題
正の数負の数１ 正の数負の数2 絶対値 正負の数足し算 正負の数引き算 正負の数・3数以上の加減
正負の掛け算 正負・分数小数の乗法 累乗 正負の割り算 割り算掛け算 四則計算 正負の数・応用問題pcスマホ問題
2数の加法L1-12数の加法L1-22数の加法L1-32数の加法L1-42数の加法L2-12数の加法L2-22数の加法L2-32数の加法L2-42数の加法L3-1(小数)2数の加法L3-2(小数)2数の加法L3-3(分数)2数の加法L3-4(分数)2数の加法L4-1(小数)2数の加法L4-2(小数)2数の加法L4-3(分数)2数の加法L4-4(分数)2数の加法_まとめ12数の加法_まとめ22数の加法_まとめ32数の加法_まとめ42数の減法L1-12数の減法L1-22数の減法L1-32数の減法L1-42数の減法L2-12数の減法L2-22数の減法L2-32数の減法L2-42数の減法L3-1(小数)2数の減法L3-2(小数)2数の減法L3-3(小数)2数の減法L3-4(小数)2数の減法L3-5(小数)2数の減法L3-6(小数)2数の減法L4-1(分数)2数の減法L4-2(分数)2数の減法L4-3(分数)2数の減法L4-4(分数)2数の減法L4-5(分数)2数の減法L4-6(分数)2数の減法_まとめ12数の減法_まとめ22数の減法_まとめ32数の減法_まとめ42数の加法減法まとめ-12数の加法減法まとめ-22数の加法減法まとめ-32数の加法減法まとめ-42数の加法減法まとめ-52数の加法減法まとめ-63数の加法-13数の加法-23数の加法-33数の加法(小数)-13数の加法(小数)-23数の加法(小数)-33数の加法(分数)-1 3数の加法(分数)-23数の加法(分数)-33数の加法(混)-1 3数の加法(混)-23数の加法(混)-33数の減法-13数の減法-23数の減法-33数の減法(小数)-13数の減法(小数)-23数の減法(小数)-33数の減法(分数)-1 3数の減法(分数)-23数の減法(分数)-33数の減法(混)-13数の減法(混)-23数の減法(混)-33数の加法減法-13数の加法減法-23数の加法減法-33数の加法減法(小数)-13数の加法減法(小数)-23数の加法減法(小数)-33数の加法減法(分数)-13数の加法減法(分数)-23数の加法減法(分数)-33数の加法減法(分数小数)-1 3数の加法減法(分数小数)-22数乗法L1-12数乗法L1-22数乗法L1-32数乗法L1-42数乗法L2-12数乗法L2-22数乗法L2-32数乗法L2-4累乗L1-1累乗L1-2累乗と乗法L1-1累乗と乗法L1-2累乗と乗法L1-32数除法L1-12数除法L1-22数除法L1-32数除法L1-42数除法L2-12数除法L2-22数除法L3-12数除法L3-22数除法L3-32数除法L3-32数除法L3-5累乗と除法L1-1累乗と除法L1-2累乗と除法L1-33数乗法1-13数乗法1-23数乗法1-33数除法1-13数除法1-23数除法1-33数乗除1-13数乗除1-23数乗除1-33数乗除1-43数累乗と乗除13数累乗と乗除23数累乗と乗除33数累乗と乗除43数累乗と乗除5四則計算L1-1四則計算L1-2四則計算L1-3四則計算L1-4四則計算L2-1四則計算L2-2四則計算L2-3四則計算L2-4四則計算L2-5四則計算L2-6四則計算L3-1四則計算L3-2四則計算L3-3四則計算L3-4四則計算L3-5四則計算L3-6四則計算L3-7四則計算L4-1四則計算L4-2四則計算L4-3四則計算L4-4四則計算L4-5四則計算L4-6四則計算L4-7四則計算L4-8四則計算L4-9四則計算L5-1四則計算L5-2四則計算L5-3 文字式要点
文字式の表し方 代入・式の値 文字式の計算(加減) 文字式の計算(乗除)例題
数量を表す式1数量を表す式2(代金・整数)数量を表す式3(速さ・割合)代入文字式の加法・減法文字式の乗法・除法分配法則など練習問題
文字式の表し方 式の値 数量を文字式で表す 文字式の計算1 文字式の計算2 文字による公式 文字式の計算3 関係を表す式pcスマホ問題
代入L1-1-1代入L1-1-2代入L1-1-3代入L1-1-4代入L1-1-5代入L1-2-1代入L1-2-2代入L1-2-3代入L1-2-4代入L2-1-1代入L2-1-2代入L2-1-3代入L2-1-4代入L2-2-1代入L2-2-2代入L2-2-3代入L2-2-4 方程式要点
方程式の解き方(等式の性質) 移項を用いた方程式の解き方 いろいろな方程式 比例式 方程式文章題の解き方 速さ 割合例題
方程式と解 文章題 連続する整数文章題 2けたの自然数分配に関する問題文章題 買い物文章題 買い物2 過不足 平均 年齢文章題(速さ)追いつく文章題(速さ)追いつく2 文章題(速さ)速さが変わる 文章題(速さ)往復文章題(速さ)往復2 文章題 割合 文章題 割引・割増
文章題 濃度の違う食塩水を混ぜる文章題 食塩水と水と食塩を混ぜる練習問題
方程式 基礎 方程式 標準 方程式 かっこ 方程式 小数・分数
方程式文章題１ 方程式文章題(速さ基本) 方程式文章題(速さ) 方程式文章題(濃度) 方程式文章題（割合・平均） 方程式文章題(割合基礎) 方程式文章題(割合) 方程式文章題(割引割増基礎) 方程式文章題(割引・割増) 比例式pcスマホ問題
比例式L1-1比例式L1-2比例式L1-3比例式L2-1比例式L2-2比例式L2-3比例式L2-4比例式L2-5方程式L1-1-1方程式L1-1-2方程式L1-1-3方程式L1-2-1方程式L1-2-2方程式L1-2-3方程式L1-2-4方程式L1-まとめ方程式L2-1-1方程式L2-1-2方程式L2-1-3方程式L2-1-4方程式L2-1-5方程式L2-1-6方程式L2-1-7方程式L2-1-8方程式L2-2-1方程式L2-2-2方程式L2-2-3方程式L2-2-4方程式L2-2-5方程式L2-2-6方程式L2-2-6方程式L2-2-8方程式L2-2-9方程式L2-まとめ方程式L3-小数1方程式L3-小数2方程式L3-小数3方程式L3-小数4方程式L3-小数5方程式L3-分数1方程式L3-分数2方程式L3-分数3方程式L3-分数4方程式L3-分数5方程式L3-分数6方程式L3-カッコ1方程式L3-カッコ2方程式L3-カッコ3方程式L3-カッコ4方程式L3-カッコ5方程式L3-カッコ6方程式(分数)L4_1方程式(分数)L4_2方程式(分数)L4_3方程式(分数)L4_4方程式(分数)L4_5方程式(分数)L4_6方程式(分数)L4_7方程式(分数)L4_8 関数要点
関数 比例 反比例 座標 比例のグラフ 反比例のグラフ例題
グラフから比例の式を求めるグラフから比例の式を求める(比例定数が分数になるとき)練習問題
比例1 比例2 座標と比例のグラフ 比例のグラフ(確認問題) 比例のグラフ(基本問題) 比例のグラフ(標準問題) 反比例1 反比例のグラフ
比例反比例の応用 グラフと図形(発展) 平面図形要点
図形(用語と記号) 図形の移動 作図1 作図2 作図3 円とおうぎ形 おうぎ形の弧、面積例題
おうぎ形の面積、弧の長さを求める問題練習問題
図形1 図形の移動 作図１ 作図2 作図3 作図4 作図5
おうぎ形 おうぎ形2 おうぎ形3 平面図形面積(発展) 空間図形要点
平面や直線の位置関係 立体の体積 立体の表面積練習問題
空間図形1 空間図形2 表面積
体積1 体積2 体積3(発展） 体積4(発展) 空間図形(発展) 資料の整理要点
度数の分布 範囲と代表値 近似値練習問題
度数分布表近似値と有効数字 総合練習問題
1年の復習１
- 式の計算
要点
式の計算(加法減法) 式の計算(乗法除法) 式の値・代入 式の説明(準備) 式による説明 等式の変形例題
加法・減法 分数形の加法・減法 乗法 除法 乗法と除法の混ざった計算 式の値 式による説明1 式による説明2 式による説明3 式による説明4 等式の変形 等式の変形(カッコを含む)練習問題
単項式多項式の足し算引き算 カッコのある計算 単項式の掛け算割り算 単項式多項式の計算3 単項式多項式の計算4 単項式多項式の計算5 単項式多項式の計算6 単項式多項式の計算(分数)
式の値 等式の変形1 等式の変形2 等式の変形3 式による説明(準備) 式による説明1 式による説明2 式による説明3 式による説明4 式の計算 章の問題1 連立方程式要点
連立方程式 いろいろな連立方程式 連立方程式(小数・分数) 連立方程式の文章題1 連立文章題 速さ 連立文章題 速さ2 連立文章題 割合例題
連立方程式(加減法1)連立方程式(加減法2) 連立方程式(かっこのある式) 連立方程式(A=B=C) 連立文章題 整数の問題 連立文章題 濃度の問題練習問題
連立方程式計算(代入法) 連立方程式計算(加減法) 連立方程式計算(分数)
連立方程式(計算1) 連立方程式(計算2) かっこのある連立方程式 連立方程式3（発展） 連立(A=B=C) 連立文章題(基礎1) 連立文章題(基礎2) 連立文章題１ 連立文章題(割合１) 連立文章題(濃度) 連立文章題(速さ) 連立文章題(速さ２)pcスマホ問題
連立方程式L1-代入法1連立方程式L1-代入法2連立方程式L1-代入法3連立方程式L1-代入法4連立方程式L1-代入法5連立方程式L1-加減法1連立方程式L1-加減法2連立方程式L1-加減法3連立方程式L1-加減法4連立方程式L1-加減法5連立方程式L1-加減法6連立方程式L1-加減法7連立方程式L1-加減法8連立方程式L2-小数1連立方程式L2-小数2連立方程式L2-小数3連立方程式L2-分数1連立方程式L2-分数2連立方程式L2-分数3連立方程式L2-分数4連立方程式L2-分数5連立方程式L2-分数6連立方程式L3-分数小数1連立方程式L3-分数小数2連立方程式L3-分数1連立方程式L3-分数2連立方程式L3-分数3連立方程式L3-分数4連立方程式L3-分数5連立方程式L3-分数6連立A=B=C-1連立A=B=C-2連立A=B=C-3連立A=B=C-4連立A=B=C-5連立A=B=C-6連立A=B=C-7連立A=B=C-まとめ連立方程式の係数1連立方程式の係数2連立方程式の係数3 1次関数要点
1次関数とは 1次関数 変化の割合 1次関数 式の出し方 1次関数 変域 直線の式、平行、交点 1次関数の応用 動点例題
1次関数の変域1 1次関数の変域2 1次関数の変域3 1次関数の変域4 2点の座標から中点を求める 三角形の面積を二等分する直線 関数と図形 正方形練習問題
1次関数基礎1 1次関数基礎2 1次関数基礎3 1次関数_変化の割合1 1次関数_変化の割合2 1次関数_変化の割合3 1次関数のグラフ1 1次関数のグラフ2 1次関数のグラフ3 1次関数のグラフ4 1次関数の式の出し方 1次関数の式2 1次関数の式3 1次関数の変域1 1次関数の変域2 1次関数の変域3 直線の式とグラフの交点 直線の式 平行・交点 直線の式 平行・交点2 1次関数基礎まとめ
関数と図形 関数と図形2 直線と四角形 １次関数応用(動点) 動点２ ダイヤグラム1 ダイヤグラム2 動点3(発展) 関数と図形(面積を二等分する直線) 1次関数まとめ2 1次関数まとめ3pcスマホ問題
変域L1-1変域L1-2変域L1-3変域L1-4変域L2-1変域L2-2変域L3-1変域L3-21次関数の式L1-傾きと1点_11次関数の式L1-傾きと1点_21次関数の式L1-傾きと1点_31次関数の式L1-傾きと1点_41次関数の式L1-傾きと1点_51次関数の式L1-2点_11次関数の式L1-2点_21次関数の式L1-2点_3 1次関数の式L1-2点_41次関数_交点L1-11次関数_交点L1-21次関数_交点L1-31次関数_交点L1-41次関数_交点L1-51次関数_交点L1-61次関数_交点L1-71次関数_交点L1-81次関数_交点L1-9交点L1-101次関数_交点L1-まとめ変化の割合L1-1変化の割合L1-2変化の割合L1-3 角度要点
角度(準備) 平行線の錯角と同位角 内角の和、外角の和例題
平行線の錯角・同位角 補助線を引く問題 三角形の内角と外角の関係 印をつけた角の和 角の二等分線と内角の和練習問題
角度基礎1 角度基礎2 内角・外角 平行線の錯角・同位角 確認問題 平行線の錯角・同位角 基本問題 平行線の錯角・同位角 標準問題 角度1 角度2 角度3 三角形要点
合同条件 合同の証明 二等辺三角形 直角三角形練習問題
三角形の合同条件 三角形の合同条件2 三角形合同の証明1 三角形の合同証明2 三角形の合同証明3 三角形の合同証明4 三角形の合同証明5 平行線の証明 三角形の合同証明6 二等辺三角形 二等辺三角形の性質 二等辺三角形2 直角三角形1 直角三角形2 直角三角形3
三角形証明(発展1) 三角形の証明(発展2) 三角形の証明(発展3) 四角形要点
平行四辺形 平行と面積例題
等積変形練習問題
平行四辺形の性質1 平行四辺形の性質2 平行四辺形の性質3 平行四辺形になるための証明1 平行四辺形になるための証明2
平行四辺形(折り返し) 特別な平行四辺形１ 特別な平行四辺形２ 平行四辺形になるための証明3 等積変形 面積比 面積比2 確率要点
確率1練習問題
確率1 確率2 確率3
- 多項式
要点
式の展開因数分解1因数分解2因数分解3例題
因数分解のくふう1 因数分解のくふう2練習問題
展開1(基礎) 展開2(基礎) 展開3 展開4 因数分解1(基礎) 因数分解２(基礎) 因数分解３(発展) 因数分解4(発展) 因数分解 式の計算の利用pcスマホ問題
因数分解L1-1-1因数分解L1-1-2因数分解L2-1-1因数分解L2-1-2因数分解L2-1-3因数分解L2-1-4因数分解L2-1-5因数分解L2-1-6因数分解L2-1-7因数分解L2-1-8因数分解L3-1-1因数分解L3-1-2因数分解L3-1-3因数分解L4-1-1因数分解L4-1-2因数分解L4-1-3因数分解L4-2-1因数分解L4-2-2展開(分配法則)-1展開(分配法則)-2展開(分配法則)-3展開(分配法則)-4展開-1展開-2展開-3展開-4展開-5展開-6展開-7展開L2-1-1展開L2-1-2展開L2-1-3展開L2-1-4展開L2-2-1展開L2-2-2展開L2-2-3展開L2-2-4展開L2-2-5展開L2-2-6展開L2-2-7展開L2-2-8展開L3-1-1展開L3-1-2展開L3-1-3展開L3-1-4 平方根要点
素数・素因数分解平方根平方根の大小平方根の計算1平方根の計算2例題
有理化練習問題
平方根(基礎) 素数と平方根(基礎) 平方根の計算(基礎) 平方根の計算2 平方根計算3 平方根計算4 平方根の大小など(基礎) 平方根問題7 平方根のおよその値 平方根計算5 平方根の大小 素因数分解
平方根応用(代入) 平方根応用(図形)pcスマホ問題
平方根計算(積・商)平方根計算(商)ルートに入れるルートの中をかんたんにするルートの中をかんたんにする2ルートの中をかんたんにする3ルートの中をかんたんにする4有理化1有理化2有理化3有理化4有理化5有理化6有理化7有理化8平方根の計算(乗法1)平方根の計算(乗法2)平方根の計算(乗法3)平方根の計算(乗法4)平方根の計算(乗法5)平方根の計算(乗法6)平方根の計算(乗法7)平方根の計算(加法減法1)平方根の計算(加法減法2)平方根の計算(加法減法3)平方根の計算(加法減法4)平方根の計算(加法減法5)平方根の計算(加法減法6)平方根の計算(加法減法7)平方根の計算(加法減法8)平方根の計算(加法減法9)平方根の計算(加法減法10)平方根の加法減法L2-1平方根の加法減法L2-2平方根の加法減法L2-3平方根の加法減法L2-4平方根の加法減法L2-5平方根の加法減法L2-6平方根の加法減法L2-7平方根の加法減法L2-8平方根の加法減法L2-9平方根の加法減法L2-10 2次方程式要点
2次方程式(平方根)2次方程式(因数分解)2次方程式(解の公式)例題
解から2次方程式を求める練習問題
2次方程式の計算基礎 2次方程式の計算1 2次方程式の計算2
2次方程式の応用(数の問題・図形の問題) 2次方程式の応用２(動点) 2次方程式の応用3(座標) 2次方程式応用4(割合)pcスマホ問題
2次方程式L1-1-12次方程式L1-1-22次方程式L1-1-32次方程式L1-1-42次方程式L1-2-12次方程式L1-2-22次方程式L1-3-12次方程式L1-3-22次方程式L1-3-32次方程式L1-3-42次方程式L1-3-52次方程式L1-3-62次方程式L1-3-m2次方程式L1-4-12次方程式L1-4-22次方程式L1-4-32次方程式L1-4-42次方程式L1-4-52次方程式L1-4-62次方程式L1-4-72次方程式L1-4-82次方程式L1-4-9 関数要点
2乗に比例する関数12乗に比例する関数22乗に比例する関数3例題
変化の割合 変域1(基礎) 変域2 変域3(変域から放物線の式を出す) 変域4(放物線と直線の変域が一致) 放物線と直線1 交点を出す 放物線と直線2 変化の割合から式を出す 放物線と直線3 点から式を出す練習問題
2乗に比例する関数1(基礎) 2乗に比例する関数2(基礎) 2乗に比例する関数3(変化の割合) 2乗に比例する関数4(変域) 2乗に比例する関数5(変化の割合、変域、交点) 2乗に比例する関数6(変化の割合、変域、交点) 放物線と直線の変域が一致する1 放物線と直線の変域が一致する2 放物線と直線 放物線と図形 放物線と図形2 放物線と面積 相似要点
相似基礎相似証明相似と面積比・体積比例題
相似_基礎 相似比と線分1 相似比と線分2 相似と線分比1(平行四辺形) 相似と線分比2 中点連結定理1 中点連結定理2 角の二等分線と辺の比1 角の二等分線と辺の比2練習問題
相似1(基礎) 相似2 相似の証明1 相似の証明2 相似と線分比1 相似と線分比2 相似と線分比3 相似と線分比4(発展) 相似5 相似6 角の二等分線と辺の比(発展) 相似と面積比 面積比 円要点
円周角1円周角2例題
円周角 三角形の外角の関係を使う問題 円周角 補助線をひく問題 円周角と弧の比1_(円周を等分する点) 円周角と弧の比2練習問題
円周角1 円周角2 円周角(証明) 円と相似 三平方の定理要点
三平方の定理三平方の定理 平面での利用特別な直角三角形三平方の定理 立体での利用例題
三平方の定理 三平方の定理2 三平方_平行四辺形の対角線 四角錐の体積 特別な直角三角形_補助線が必要な問題 三平方_三辺の長さから三角形の面積を求める 三平方_折り返し練習問題
三平方の定理1(基礎) 三平方の定理2(基礎) 三平方の定理3 三平方の定理4 三平方の定理5 三平方の定理6 三平方の定理7 三平方の定理8 特別な直角三角形 三平方 折り返し 総合練習問題
方程式文章題(割合) 総合問題１ 復習問題 方程式文章題(割合2) 立体と動点