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三平方の定理

三平方の定理とは

三平方の定理とは直角三角形の三辺の長さに関する定理である。
ピタゴラスの定理とも呼ばれる。
三平方の定理
直角三角形の斜辺をc、他の辺をa,bとすると次の関係が成り立つ。
a2+b2=c2 a b c

証明
頂点Bから辺ACに垂線をひき、その交点をDとする。
△ABCと△ADBにおいて
∠ABC=∠ADB=90°、∠Aが共通
よって2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△ADB
同様に△ABC∽△BDCになる。
△ABC:△ADB:△BDCの相似比はc:a:bとなり、
面積比はc2:a2:b2となる。
ところが△ADBと△BDCの面積の和が△ABCの面積になるので
a2+b2=c2となる
A B C a b c D
D D B C A B a b

直角三角形の辺の長さを出す

直角三角形の2辺の長さがわかっていて、残りの辺の長さを出す場合、
求める辺の長さをxにして、定理に代入して求める。
【例】 A B C 10 8 辺ABの長さを求める
ABをxとして, x, 8, 10を三平方の定理に代入すると
x2+82=102
x2+64=100
x2=100-64
x2=36
x=±6, x>0よりx=6

斜辺を代入する場所を間違えないように!!
a2 + b2 = c2 斜辺

【確認】  xを求めよ。
1 2 x
5
1 x 2
3
x 5 13
12

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