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三平方の定理_平面への利用


三平方の定理が使えるのは直角三角形である。
定理を利用する場合は図から直角三角形を探すか、補助線を書いて直角三角形を作る。

座標上での2点間の距離

いままで、座標上で斜めの長さは出せなかったが、三平方の定理を使えば出せるようになる。 A B
【例】図の線分ABの長さを求める。 x y O A(2,1) B(7,3) C 5 2

線分ABが斜辺になるような直角三角形ABCを作る。
 (他の2辺が軸に平行になるように)
辺AC(横)の長さはx座標どうしの差 7-2=5 辺BC(縦)の長さはy座標どうしの差 3-1=2 三平方の定理にあてはめると 
AB2=52+22
AB2=29
AB=±29
AB>0よりAB=29

【確認】線分ABの長さを求めよ。
A(1,5) B(6,2) x y O
34
B(2,-2) A(-1, 4) O x y
35

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長方形の対角線

長方形は全ての角が直角なので、対角線を引くと2つの直角三角形ができる。
そのため長方形の縦と横の長さから三平方の定理を使って対角線の長さを出すことができる。
【例】縦2cm, 横3cmの長方形の対角線を求める。
2cm 3cm x

対角線を引いて直角三角形をつくる。 三平方の定理にあてはめる。 x2=22 + 32
x2=4+9
x2=13
x=±13
x>0よりx=13
答 13cm
【確認】次のそれぞれの四角形の対角線を求めよ。
1辺8cmの正方形
A B C D
82cm
縦3cm, 横7cmの長方形
A B C D
58cm

例題_平行四辺形の対角線

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二等辺三角形の高さ

二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を引くと、
合同な直角三角形が2つできるので垂線と底辺の交点が底辺の中点になる。

このため辺の長さがわかっている二等辺三角形の高さを出すことができる。
【例】AB=AC=3cm, BC=2cmの二等辺三角形の高さを求める。
3cm 3cm 2cm 1cm x

頂点Aから垂線をおろして直角三角形をつくる。 三平方の定理に当てはめる。 x2+12=32
x2=9-1
x2=8
x=±22
x>0よりx=22
答 22cm
【確認】次のそれぞれの三角形で、頂点Aから辺BCにおろした垂線の長さを求めよ。
1辺8cmの正三角形
A B C
43cm
AB=AC=29cm, BC=40cmの二等辺三角形
A B C
21cm

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円と三平方

弦の長さ

円の中心から弦に垂線を引くと、弦の垂直二等分線になる。

【例】
半径7の円で、中心から弦ABまでの距離が3である。
弦ABの長さを求める。
AB=xとする。
直角三角形APOで、AP=x2、AO=7、PO=3を
三平方の定理にあてはめる。
(x2)2+32=72
x24+9=49
x2=160
x>0よりx=410
ABO3P7
【確認】次の問いに答えよ。
半径10の円で、中心Oから
弦ABまでの距離が6である。
弦ABの長さを求めよ。
ABOP
16
半径7の円で、弦ABの長さが10のとき
中心Oから弦ABまでの距離を求めよ。
OPAB
26

接線の長さ

円Oに円外の点Pから引いた接線の接点をTとすると
接線は接点を通る半径と垂直になるので
△POTは∠PTO=90°の直角三角形になる。
TPO

【例】
半径9の円Oと、中心Oからの距離が12の点Aがある。
Aから円Oに引いた接線の長さATを求める。
直角三角形AOTで、AT=x, AO=12, TO=9
を三平方の定理にあてはめる。
x2+92=122
x2=144-81
x2=63
x>0よりx=37
OAT912
【確認】次の問いに答えよ。
半径4の円Oと、中心からの距離が12の点Aがある。
Aから円Oに引いた接線の長さを求めよ。
AO
82
円Oの中心Oからの距離が37の点Aがあり、
Aから引いた接線の長さが35である。
円Oの半径を求めよ。
OA
12

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