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三平方の定理_平面への利用

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正の数・負の数
正負の加法、減法
加法、減法の混ざった計算
正負の数の乗法、除法、累乗
四則計算、分配法則
文字式の表し方
代入・式の値
文字式の計算
方程式の解き方(等式の性質)
移項を用いた方程式の解き方
いろいろな方程式
比例式
方程式文章題(買い物)
方程式文章題(速さ1)
関数
比例
反比例
座標
比例のグラフ
反比例のグラフ
図形(用語と記号)
図形の移動
作図1
作図2
作図3
円とおうぎ形
おうぎ形の弧、面積
平面や直線の位置関係
立体の体積
立体の表面積
度数の分布
範囲と代表値
近似値
2年範囲
式の計算(加法減法)
式の計算(乗法除法)
式の値・代入
式の説明準備
式による説明
等式の変形
連立方程式
いろいろな連立方程式
連立方程式(小数・分数)
連立方程式の文章題1
連立文章題 速さ
連立文章題 速さ2
連立文章題 割合
1次関数とは
1次関数2 変化の割合
1次関数3 式の出し方
1次関数4 変域
直線の式、平行、交点
1次関数の応用(動点)
角度(準備)
平行線の錯角と同位角
内角の和、外角の和
合同条件
合同の証明
二等辺三角形
直角三角形
平行四辺形
平行と面積
確率1
3年範囲
式の展開
因数分解1
因数分解2
因数分解3
素数・素因数分解
平方根
平方根の大小
平方根の計算1
平方根の計算2
2次方程式(平方根)
2次方程式(因数分解)
2次方程式(解の公式)
2乗に比例する関数1
2乗に比例する関数2
2乗に比例する関数3
相似基礎
相似証明1
相似と面積比・体積比
円周角1
円周角2
三平方の定理
三平方の定理_平面での利用
特別な直角三角形
三平方の定理_立体での利用


三平方の定理が使えるのは直角三角形である。
定理を利用する場合は図から直角三角形を探すか、補助線を書いて直角三角形を作る。

座標上での2点間の距離

いままで、座標上で斜めの長さは出せなかったが、三平方の定理を使えば出せるようになる。 A B

【例】図の線分ABの長さを求める。 x y O A(2,1) B(7,3) C 5 2
線分ABが斜辺になるような直角三角形を作る。
 (他の2辺が軸に平行になるように)
辺AC(横)の長さはx座標どうしの差 7-2=5
辺BC(縦)の長さはy座標どうしの差 3-1=2
三平方の定理にあてはめると 
AB2=52+22
AB2=29
AB=±29
AB>0よりAB=29

【確認】線分ABの長さを求めよ。
A(1,5) B(6,2) x y O
34
B(2,-2) A(-1, 4) O x y
35

長方形の対角線

長方形は全ての角が直角なので、対角線を引くと2つの直角三角形ができる。
そのため長方形の縦と横の長さから三平方の定理を使って対角線の長さを出すことができる。

【例】縦2cm, 横3cmの長方形の対角線を求める。
2cm 3cm x 対角線を引いて直角三角形をつくる。
三平方の定理にあてはめる。
x2=22 + 32
x2=4+9
x2=13
x=±13
x>0よりx=13
答 13cm

【確認】次のそれぞれの四角形の対角線を求めよ。
1辺8cmの正方形
A B C D
82cm
縦3cm, 横7cmの長方形
A B C D
58cm

例題_平行四辺形の対角線

二等辺三角形の高さ

二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を引くと、
合同な直角三角形が2つできるので垂線と底辺の交点が底辺の中点になる。

このため辺の長さがわかっている二等辺三角形の高さを出すことができる。

【例】AB=AC=3cm, BC=2cmの二等辺三角形の高さを求める。
3cm 3cm 2cm 1cm x 頂点Aから垂線をおろして直角三角形をつくる。
三平方の定理に当てはめる。
x2+12=32
x2=9-1
x2=8
x=±22
x>0よりx=22
答 22cm

【確認】次のそれぞれの三角形で、頂点Aから辺BCにおろした垂線の長さを求めよ。
1辺8cmの正三角形
A B C
43cm
AB=AC=29cm, BC=40cmの二等辺三角形
A B C
21cm

分野別 目次

1年

正負の数

文字式

方程式

関数

平面図形

空間図形

資料の整理

まとめ

まとめ

2年

式の計算

連立方程式

1次関数

角度

三角形

四角形

確率

3年

多項式

平方根

2次方程式

関数

相似

三平方の定理

まとめ

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