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空間図形への利用


三平方の定理が使えるのは直角三角形である。
定理を利用する場合は図から直角三角形を探すか、補助線を書いて直角三角形を作る。
立体は切断したり、展開したりしてできる限り平面で考える

直方体の対角線

【例】対角線の長さBHを求める。
A B C D E F G H 5cm 4cm 3cm
方針
対角線BHを斜辺とする直角三角形は△BFHだが、
辺FHの長さが出ていない。
そこで先に直角三角形FGHで三平方の定理を使って
FHの長さを出す。

底面EFGHを平面にすると
F G H E 3cm 4cm
直角三角形FGHで三平方の定理を使うと
FH2 =32+42
FH2=25
FH=±5
FH>0より FH=5

次に直方体を面BFHDで切断した切断面を
平面にすると
B F D H 5cm 5cm
直角三角形BFHで三平方の定理を使うと
BH2=52+52
BH2=50
BH=±52
BH>0よりBH=52

【公式】直方体の対角線
 縦a、横b、高さcの直方体の対角線の長さは
a2+b2+c2
 ≫証明

【確認】
縦2cm, 横6cm, 高さ3cmの直方体の対角線を求めよ。
7cm

1辺4cmの立方体の対角線を求めよ。
43

円錐の体積

錐の体積=底面積×高さ÷3
母線の長さと底面の半径がわかっている円錐では
三平方の定理で高さを出せば体積を出すことができる。

【例】母線の長さ17cm, 底面の半径8cmの円錐の体積を求める。 17cm 8cm
17cm 8cm h 頂点を通り底面に垂直な平面で円錐を切断すると
切断面は二等辺三角形になる
この二等辺三角形の高さが円錐の高さになるので
三平方の定理より
172=82+h2
h2=289-64
h2=225
h=±15
h>0よりh=15
よって 体積=8×8×π×15÷3=320π
答 320πcm3

【確認】
母線の長さ15cm, 底面の半径9cmの円錐の体積を求めよ。
324πcm3

底面の半径7cm, 体積392πcm3の円錐の母線の長さを求めよ。
25cm

例題_四角錐の体積

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