三平方　折り返し

次の問いに答えよ

長方形ABCDで頂点をBを頂点Dに重ねるように
折り返す。 頂点Aが移る点をEとする。
そのときの折り目FGの長さを求めよ。
 4cm 8cm A B C D E F G

長方形ABCDの辺BC上にBE=4cmとなるように
点Eをとる。頂点AをEに重ねるようね折り返す。
このときの折り目FGの長さを求めよ。 A B C D F G E 4cm 8cm 12cm

長方形ABCDの頂点Cが辺AD上に
くるように折り返す。頂点Cが移る点がEで、
Fは辺CD上にあり、BFが折り目である。
DFの長さを求めよ。 12cm 13cm A B C D E F

正方形ABCDの辺AB上にBE=5cmとなるような
点Eをとる。頂点CがEに重なるように
折り返す。頂点Dが移る点がF, 折り目が
HIである。FHの長さを求めよ。 A B C D E F G H I 5cm 25cm 25cm

直角二等辺三角形ABCで辺ACの中点をMとする。
頂点BをMに重ねるように折り返す。
折り目がDEである。MEの長さを求めよ。 A B C 12cm 12cm M D E

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25cm 55cm 10 3 cm 8cm 52cm

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FからBCに垂線をおろして公転をHとする。
直角三角形FHGを用いてFGの長さを出す。
そのためにまずHGの長さを求める。
△DGC≡△DFEなので、GC=FE=FA、FD=GBである。
EF=xとすると、FD=8-x, ED=4
直角三角形EFDで三平方の定理を使うと
x2+42=(8-x)2
x2+16=64-16x+x2
16x = 48
x=3
AF=3、FD=5よりBH=3, BG=5なので HG=2
△FHGでFH=4, HG=2,とすると
FG22+22
=16+4=20
よってFG=25 4cm8cmABCDEFGHx8-xx4

まずEFをもとめる。
△EFGは△AFGを折り返した図形なのでEF=AFである。
EF=xとするとFB=AB-AFより
FBは 8-xと表せる。
△FBEは直角三角形で3辺が4, x, 8-xである。
三平方の定理にあてはめると x2 = 42 + (8-x)2
x2 = 16 + 64-16x+x2
16x = 80
x=5 ABCDFGE4cm8cm12cmxx8-x

次にEGをもとめる。
GからDCに平行な直線をひき、BCとの交点をHとする。
△EFGは△AFGを折り返した図形なのでEG=AGである。
またABHGが長方形なのでAG=BH, GH=8である。
EG=yとするとEH = BH-BEより
EH=y-4と表せる。
直角三角形GEHの3辺を三平方の定理に当てはめると
y2 = 82+(y-4)2
y2 = 64+y2-8y+16
8y=80
y=10
 ABCDFGE4cm8cm12cmHyy8y-4

すると△EFGでEF=5, EG=10
三平方の定理に当てはめると
FG2 = 52 + 102
FG2 =125
FG=±55
FG>0より　FG=55 ABCDFGE4cm8cm12cm510

折り返した辺なのでBC=BE=13
直角三角形ABEで三平方の定理を使うと
AE2 = 132-122
AE2 = 25
よってAE=5
 12cm13cmABCDEF13
AE=5よりED=13-5=8
DF=xとするとFC=12-xなのでFE=12-x
直角三角形DEFで三平方の定理を使うと
82+x2 = (12-x)2
64+x2 = 144-24x+x2
24x = 144 -64
24x = 80
x =103 12cm13cmABCDEF58x12-x12-x

この問題は、相似と三平方の組合せである。
求めるFHを含む三角形の△GFHと相似な三角形を見つける
まず、△GFH∽△GAE (理由：∠GFH=∠GAE=90°、∠FGH=∠AGE 対頂角)
さらに△GAE∽△EBI
(理由：∠GAE=∠EBI=90°、∠AEG+∠BEI=90°で∠BIE+∠BEI=90°より∠AEG=∠BIE)
そして△EBIについて
折り返しているのでIC=IEである。IC=IE=yとすると
BI=25-yとなるので、三平方の定理を使うとyが出せる。
52 + (25-y)2 = y2
この方程式を解くとy=13
つまり、EI=13, BI = 12である。
△GAE∽△EBIの関係からAG, EGを出す。
AB=25、EB=5より　AE=20である。

GEと対応するのはEIなので
GE:13 = 20:12
GE = 653
GAとEBが対応するので
GA:5 = 20:12
GA = 253 EABIEG5cm13cm12cm20cm

続いて△GFH∽△GAEの関係からFHを出す。
EF=25, GE =653より
GF = 25- 653=103
FHと対応するのはAEなので
FH:20 = 103 : 253
FH =8 AEGGFH103─cm─ cm─ cm20cm336525

ABC12cm12cmMDE6cm3√2xxF12√23√2 もとめるME=xとする。
BEを折り返したものがMEなので
BE=xである。
MからBCに垂線をおろし、交点をFとする。
すると△MFCは∠MCF=45°なので
MF=CFの直角二等辺三角形になる。
MF:CF:MC=1:1:2, MC=6cmより
MF=CF=32
また、BC=122cm
BE=x　なので
EF=122-32-x
　=92-x
直角三角形MEFで三平方の定理に当てはめると
(32)2+(92-x)2 = x2
18+162-182x+x2=x2
182x = 180
x=52

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