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平行四辺形の性質の利用2

 次の問いに答えよ

図のABCDでBE=DFである。このときAE=CFとなることを証明しなさい。

ABCDで辺CBの延長線上にEをとり、辺CDの延長線上にFをとる。EFと辺AB,ADの交点をそれぞれG,Hとする。EB=HDのとき、△GEB≡△FHDを証明せよ。

ABCDで∠ABCの二等分線と辺ADの交点をE,対角線ACとの交点をPとする。また∠CDAの二等分線と辺BCとの交点をF、対角線ACとの交点をQとする。このとき△ABP≡△CDQを証明しなさい。

図の ABCDでBE=DFである。このときAE//CFとなることを証明しなさい。

(1)
  △ABEと△CDFにおいて
   AB=CD( ABCDの対辺)
   ∠ABE =∠CDF(平行線の錯角)
   BE=DF(仮定)
  よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
  △ABE≡△CDF
  対応する辺は等しいのでAE=CF
(2)
  △GEBと△FHDにおいて
   ∠GBE=180°-∠ABC (直線は180°)・・・①
   ∠FDH=180°-∠ADC (直線は180°)・・・②
  ∠ABC=∠ADC(平行四辺形の対角)・・・③
  ①、②、③より∠GBE=∠FDH・・・④
  ∠GEB=∠FHD(平行線の同位角)・・・⑤
  EB=HD(仮定)・・・⑥
  ④、⑤、⑥より
  1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
  △GEB≡△FHD 
(3)
  △ABPと△CDQにおいて
  AB=CD(平行四辺形の対辺)… ①
  ∠BAP=∠DCQ(平行線の錯角)… ②
  ∠ABP=12∠ABC (角の二等分線)…③
  ∠CDQ=12∠CDA (角の二等分線)…④
  ∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角)…⑤
  ③④⑤より∠ABP=∠CDQ …⑥
  ①②⑥より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
  △ABP≡△CDQ
(4)
  △ABEと△CDFにおいて
  AB=CD( ABCDの対辺)
  ∠ABE=∠CDF(平行線の錯角)
  BE=DF(仮定)
  よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
  対応する角は等しいので∠AEB=∠CFD
  ∠AEF=180°-∠AEB(直線は180°)
  ∠CFE=180°-∠CFD(直線は180°)
  よって∠CFE=∠AEF
  錯角が等しいのでAE//CF

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