平行四辺形の性質の利用２

　次の問いに答えよ

図のABCDでBE=DFである。このときAE=CFとなることを証明しなさい。

ABCDで辺CBの延長線上にEをとり、辺CDの延長線上にFをとる。EFと辺AB,ADの交点をそれぞれG,Hとする。EB=HDのとき、△GEB≡△FHDを証明せよ。

ABCDで∠ABCの二等分線と辺ADの交点をE,対角線ACとの交点をPとする。また∠CDAの二等分線と辺BCとの交点をF、対角線ACとの交点をQとする。このとき△ABP≡△CDQを証明しなさい。

図の ABCDでBE=DFである。このときAE//CFとなることを証明しなさい。

(1)
　 △ABEと△CDFにおいて
　 　AB=CD( ABCDの対辺)
　 　∠ABE =∠CDF(平行線の錯角)
　 　BE=DF(仮定)
　 よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
　 △ABE≡△CDF
　 対応する辺は等しいのでAE=CF
(2)
　 △GEBと△FHDにおいて
　 　∠GBE=180°-∠ABC (直線は180°)・・・①
　 　∠FDH=180°-∠ADC (直線は180°)・・・②
　 ∠ABC=∠ADC（平行四辺形の対角）・・・③
　 ①、②、③より∠GBE=∠FDH・・・④
　 ∠GEB=∠FHD(平行線の同位角)・・・⑤
　 EB=HD(仮定)・・・⑥
　 ④、⑤、⑥より
　 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
　 △GEB≡△FHD　
(3)
　 △ABPと△CDQにおいて
　 AB=CD(平行四辺形の対辺)… ①
　 ∠BAP=∠DCQ(平行線の錯角)… ②
　 ∠ABP=12∠ABC (角の二等分線)…③
　 ∠CDQ=12∠CDA (角の二等分線)…④
　 ∠ABC=∠CDA(平行四辺形の対角)…⑤
　 ③④⑤より∠ABP=∠CDQ …⑥
　 ①②⑥より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
　 △ABP≡△CDQ
(4)
　 △ABEと△CDFにおいて
　 AB=CD( ABCDの対辺)
　 ∠ABE=∠CDF(平行線の錯角)
　 BE=DF(仮定)
　 よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
　 対応する角は等しいので∠AEB=∠CFD
　 ∠AEF=180°-∠AEB(直線は180°)
　 ∠CFE=180°-∠CFD(直線は180°)
　 よって∠CFE=∠AEF
　 錯角が等しいのでAE//CF