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特別な平行四辺形2

長方形ABCDで、辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれE、F、G、Hとする。このとき、四角形EFGHがひし形となることを証明せよ。


ABCDでM, Nはそれぞれ辺AD, BCの中点である。

四角形PNQMが平行四辺形となることを証明せよ。

AB=4cm, AD=8cmとする。
四角形ABNMはどんな四角形になるか。
四角形PNQMはどんな四角形になるか。

△ABCの2辺AB, ACの中点をそれぞれD,Eとし、DEの延長上に点FをとってDE=EFとして四角形ADCFをつくる。各問に当てはまる最も適切な答を語群から選び記号で答えよ。
①長方形②ひし形③正方形④平行四辺形


△ABCが∠ACB=90°の直角三角形のとき四角形ADCFはどんな四角形か。

△ABCがAC=BCの二等辺三角形のとき四角形ADCFはどんな四角形か。

 ABCDでそれぞれの角から二等分線を引き交点をE, F, G, Hとする。四角形GEHFはどのような四角形になるか。

△AEHと△DGHにおいて
AH=DH(HはADの中点)・・・①
AE=12 AB(EはABの中点)・・・②
DG=12 DC(GはDCの中点)・・・③
AB=DC(長方形ABCDの対辺)・・・④
②、③、④より AE=DG・・・⑤
∠EAH=∠GDH=90°(長方形ABCDの角)・・・⑥
①、⑤、⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AEH≡△DGH 
合同な三角形の対応する辺は等しいのでEH=GH・・・⑦
△EBFと△GCFで同様にすると△EBF≡△GCFとなりEF=GF・・・⑧
△AEHと△BEFで同様にすると△AEH≡△BEFとなりEH=EF・・・⑨
⑦、⑧、⑨より EH=GH=EF=GF
よって四つの辺が等しいので四角形ABCDはひし形となる。

(1)
四角形BNDMにおいて
AD=BC(ABCDの対辺)
MD=AD(MはADの中点)
BN=BC(MはBCの中点)
よってMD=BN・・・①
AD//BC(ABCDの対辺)より MD//BN・・・②
①、②より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形BNDMは平行四辺形となる。
よってBM//ND・・・③
四角形ANCMにおいて
同様にすると四角形ANCMは平行四辺形となる。
よってAN//MC・・・④
③、④より2組の対辺がそれぞれ平行なので四角形PNQMは平行四辺形となる。
(2) ①ひし形  ②長方形   

(1) ②
(2) ①

長方形

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