直角三角形2

右の図で PO は∠AOB の二等分線である。∠OAP=∠OBP=90°のとき AP=BP となることを証明しなさい。

右の△ABCで頂点Bから辺ACに垂線をおろし、その交点をEとする。同様にCからABに垂線をおろしその交点をDとする。BD=CEならば△ABCは二等辺三角形になることを証明せよ。

左の図で△ABC は AB=AC の二等辺三角形である。このとき AB⊥CD, AC⊥BE なら△FBC が二等辺三角形になることを証明しなさい。

右の図で AB=CB, ∠CDB=∠AEB=90°のときBD=BE となることを証明しなさい。

△AOP と△BOP において
OP=OP(共通)
∠AOP=∠BOP(PO は∠AOB の二等分線）
∠OAP=∠OBP=90°(仮定)
よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△AOP≡△BOP
合同な三角形の対応する辺は等しいので AP=BP となる

△DBC と△ECB において
BD=CE(仮定)
∠CDB=∠BEC=90°(垂線)
BC=CB (共通)
よって直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので△DBC≡△ECB
合同な三角形の対応する角は等しいので∠DBC=∠ECB
よって２角が等しいので△ABC は二等辺三角形になる。

△DBC と△ECB において
∠CDB=∠BEC=90°(AB⊥CD, AC⊥BE)
∠DBC=∠ECB(二等辺三角形 ABC の底角)
BC=CB(共通) よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△DBC≡△ECB
合同な三角形の対応する角は等しいので ∠FCB=∠FBC
２角が等しいので△FBC は二等辺三角形になる。

△ABE と△CBD において
∠AEB=∠CDB=90°（仮定）
AB=CB（仮定）
∠ABE=∠CBD(共通)
よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CBD
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=BE