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特別な平行四辺形1

 次の問いに答えよ。

長方形の定義と対角線の性質を書きなさい。
①定義②対角線の性質

ひし形の定義と対角線の性質を書きなさい。
①定義②対角線の性質

正方形の定義と対角線の性質を書きなさい。
①定義②対角線の性質

 図でひし形ABCDの頂点Aから辺BC, CDに垂線をおろしその交点をE, Fとする。このとき△AEFが二等辺三角形になることを証明しなさい。

 図の△ABCはAB=ACの二等辺三角形である。辺BCの中点をD,辺ACの中点をEとする。DEを延長してDE=FEとなる点をFとする。四角形ADCFが長方形に なることを証明しなさい。

 次の(1), (2)でそれぞれ四角形ABCDは長方形である。x、yの値をそれぞれ求めなさい。

図で四角形ABCDはひし形である。x、yの値を求めなさい。

(1)  
 ① 定義  4つの角が等しい四角形。
 ② 対角線の性質 対角線が等しい。
(2)
 ① 定義  4つの辺が等しい四角形。
 ② 対角線の性質 対角線が直角に交わる。
(3)
 ① 定義   4つの角が等しく、4つの辺が等しい。
 ② 対角線の性質 対角線が等しく、直角に交わる。

△ABEと△ADFにおいて
ひし形は四つの辺がすべて等しいので AB=AD
ひし形は平行四辺形なので対角は等しいから ∠ABE=∠ADF
∠AEB=∠AFD=90°(垂線)
よって直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△ADF
合同な三角形の対応する辺は等しいのでAE=AF
2辺が等しいので△AEFは二等辺三角形である。

△ABDと△ACDにおいて
AB=AC(仮定)
AD共通
BD=CD(DはBCの中点)
よって3組の辺がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACD
合同な三角形の対応する角は等しいので∠ADC=∠ADB
∠ADC+∠ADB =180° (直線の角)
よって∠ADC=90°・・・①
四角形ADCFにおいて
AE=CE(EはACの中点)
DE=FE(仮定)
よって対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形ADCFは平行四辺形となる。・・・②
①、②より平行四辺形で1つの角が直角なので四角形ADCFは長方形となる。

(1)x=27 (2)x=9 y=9 

x=76, y=14

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