平行四辺形 折り返し2

長方形ABCDを対角線BDを折り目として折り返す。
頂点Cの移る点をE,BEとADの交点をFとする。
△ABF≡△EDFを証明せよ。 ABCDを、辺AB、CDがそれぞれ対角線BDと
重なるように折り返す。その折り目がEB、FDである。
(1) △ABE≡△CDFを証明せよ。　
(2) (1)の結果を使って
四角形EBFDが平行四辺形となることを証明せよ。 長方形ABCDの頂点Dが辺AB上にくるように折り返す。
そのときの折り目がEFで、Dが移る点をG,
Cが移る点をHとする。
DからGHに垂線DPを引き、GとDを結ぶとき
AG=PGとなることを証明せよ。

△ABFと△EDFにおいて
∠FDB=∠DBC(平行線の錯角)
∠FBD=∠DBC(折り返した角)
よって∠FDB=∠FBD
2角が等しいので△FBDは二等辺三角形である。
よってFB=FD…①
∠BAF=∠DCB＝90°(長方形の角)
∠DCB=∠DEF=90°(折り返した角)
よって∠BAF=∠DEF=90°…②
∠AFB=∠EFD(対頂角)…③
①、②、③より直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABF≡△EDF (1)
△ABEと△CDFにおいて
∠ABD=∠CDB(平行線の錯角)・・・①
∠ABE=∠EBD(折り返した角)・・・②
∠CDF=∠FDB(折り返した角)・・・③
①②③より∠ABE=∠CDF・・・ ④
AB=CD(平行四辺形の対辺)・・・ ⑤
∠BAE=∠DCF(平行四辺形の対角)・・・ ⑥　
④⑤⑥　より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
(2)
四角形EBFDにおいて
AE=CF((1)より合同な図形の対応する辺)・・・①
AD=CB(平行四辺形の対辺)・・・②
ED=AD-AE・・・③
FB=BC-CF・・・④
①②③④よりED=FB・・・ ⑤
AD//BC(平行四辺形の対辺)よりED//FB・・・ ⑥　
⑤⑥より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形EBFDは平行四辺形となる △AGDと△PGDにおいて
∠DAG=90°(長方形の角)
∠DPG=90°(垂線)
よって∠DAG=∠DPG=90°…①
DG=DG(共通)…②
∠EGH=90°(長方形の角)
∠DPH=90°(垂線)
よって∠EGH=∠DPH
同位角が等しいのでGE//PD
∠EGD=∠PDG(平行線の錯角)…③
EG=ED(折り返した辺)より△EGDは二等辺三角形
よって∠EGD=∠EDG(二等辺三角形の底角)…④
③④より∠ADG=∠PDG…⑤
①②⑤より 直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので △AGD≡△PGD
合同な図形の対応する辺は等しいので AG=PG