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合同証明 応用(角の引き算)

△ABCと△ADEはともに正三角形である。このときBD=CEとなることを証明せよ。
A B C D E
BDとCEをそれぞれ1辺とする三角形の組み合わせは
△ABDと△ACEである。
よって△ABDと△ACEの合同を証明する。
ABCDE
仮定は△ABCと△ADEが両方とも正三角形。
△ABDと△ACEに関係するのは,AB=AC,AD=AEである。
ABCDE
仮定から,2組の辺がそれぞれ等しくなったので,
その間の角である∠BADと∠CAEに注目する。
∠BACと∠DAEはともに60°なので,
∠BAD = 60°-∠DAC
∠CAE = 60°-∠DAC
このように右辺が全く同じ式で表せるので
∠BAD = ∠CAEが導ける。
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△ACEとなる。
ABCDE60°60°60°60°

【証明】

△ABDと△ACEにおいて
∠BAC=∠DAE=60°(正三角形の角)より
∠BAD=60°-∠DAC
∠CAE=60°-∠DAC
よって∠BAD=∠CAE・・・①
AB=AC(正三角形の辺)・・・②
AD=AE(正三角形の辺) ・・・③
①、②、③より
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABD≡△ACE
合同な三角形の対応する辺は等しいのでBD=CE

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