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三角形の合同証明 応用(直線と内角の和)

図で,△ABCは∠BAC=90°,AB=ACの直角二等辺三角形である。
B,Cから頂点Aを通る直線lに垂線をおろし,交点をそれぞれD,Eとする。
△ADB≡△CEAを証明せよ。
ABClDE
仮定を図にかきいれる。
∠BAC=90°,AB=AC,∠ADB=90°,∠CEA=90°
ABClDE
△ADEに注目すると
内角の和は180°なので
∠DAB+90°+∠DBA =180°
式を変形して
∠DBA = 90°-∠DAB
ABClDE
点Aを含む直線(黄色◯付近)に注目すると
直線は180°なので
∠DAB+90°+∠EAC = 180°
式を変形して
∠EAC = 90° -∠DAB
ABClDE
すると,∠EACと∠DBAがともに
同じ式 90°-∠DAB で表せるので
∠EAC = ∠DBA となる。
この条件を図に加えると
ABClDE
直角三角形で,斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しくなっているので
△ADB≡△CEAとなる。

【証明】
△ADBと△CEAにおいて
△ADBの内角の和は180°なので
∠DAB+90°+∠DBA =180° より
∠DBA = 90°-∠DAB・・・①
直線は180°なので
∠DAB+90°+∠EAC = 180° より
∠EAC = 90° -∠DAB・・・②
①,②,∠DBA=∠EAC・・・③
AB=CA (仮定)・・・④
∠ADB=∠CEA =90°(仮定)・・・⑤
③,④,⑤より
直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ADB≡△BEC

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