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二等辺三角形2

△ABCで辺BCの中点をMとする。MD=ME、DB=ECであれば△ABCは二等辺三角形になることを証明しなさい。

A B C D E M

右の図で△ABCはAB=ACの二等辺三角形で、BD=CEである。また、CDとBEの交点をFとするとき△FBCは二等辺三角形になることを証明しなさい。

A B C D E F

m//nでBCは∠ABFの二等分線、BDは∠ABEの二等分線である。このときAD=ACとなることを証明しなさい。

A B C D E F m n

次の問に答えよ。

① AB=AC,AD=BD=BCのとき
xを求めよ。

x A B C D

② 図でAB=BC=CD=DEである。
∠GAF=aとするとき
∠EDFをaで表せ。

A B C D E F G

△DBM と△ECM において
MD=ME (仮定)
DB=EC (仮定)
BM=CM (M はBCの中点)
よって三辺がそれぞれ等しいので
△DBM≡△ECM
対応する角は等しいので∠DBM=∠ECM
二角が等しいので△ABC は二等辺三角形となる。

△DBC と△ECB において
∠DBC=∠ECB(二等辺三角形 ABC の底角)
BC=CB (共通)
BD=CE(仮定)
よって二辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△DBC≡△ECB
対応する角は等しいので∠FCB=∠FBC
よって二角が等しいので△FBC は二等辺三角形となる。

△ADB において
∠ABD=∠DBE(二等分線)
∠DBE=∠ADB(m//n の錯角)
よって∠ADB=∠ABD
2角が等しいので△ADB は二等辺三角形となる。
よって AD=AB・・・①
△ABC において
∠ABC=∠CBF(角の二等分線)
∠ACB=∠CBF(m//n の錯角)
よって∠ABC=∠ACB
2角が等しいので△ACB は二等辺三角形となる。
よって AC=AB・・・②
①、②より AD=AC

① 36°   ② 4a

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