直角三角形3

BCの中点Mから辺AB、ACにそれぞれ垂線をひきその交点をD、Eとする。BD=CEならば、△ABCが二等辺三角形になることを証明せよ。

∠BCD=90°で、BDは∠ADCの二等分線である。点AからBDに垂線を引き、その交点をEとする。BD=ADのとき△BCD≡△AEDを証明せよ。

△FBCはFB=FCの二等辺三角形である。AB⊥CD,AC⊥BEのとき△ABCが二等辺三角形となることを証明せよ。

図のような∠BAC=90°、AB=ACの直角二等辺三角形がある。点DはBAの延長線上にあり、点Eは辺AC上にある。BE=CDのとき△AEDは二等辺三角形になることを証明せよ。

△MBD と△MCE において
MB=MC(M は BC の中点)
∠MDB=∠MEC=90°(垂線)
BD=CE(仮定)
よって直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので△MBD≡△MCE
合同な三角形の対応する角は等しいので∠DBM=∠ECM
よって2角が等しいので△ABC は二等辺三角形となる。

△BCD と△AED において
BD=AD(仮定)
∠BCD=∠AED=90°(仮定)
∠BDC=∠ADE(角の二等分線)
よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△BCD≡△AED

△DBC と△ECB において
∠DCB=∠EBC(二等辺三角形 FBC の底角)
∠CDB=∠BEC=90°(仮定)
BC=CB(共通)
よって直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいので△DBC≡△ECB
合同な三角形の対応する角は等しいので∠DBC=∠ECB
２角が等しいので△ABC は二等辺三角形となる。

△ABE と△ACD において
AB=AC (仮定)
∠BAE=∠CAD=90°（仮定）
BE=CD (仮定)
よって直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので△ABE≡△ACD
合同な三角形の対応する辺は等しいので　AE=AD
２辺が等しいので△AED は二等辺三角形となる。