正方形は4辺が全て等しく, 4つの角がすべて90°である。
正方形ABCDでBE=CFとなるような点E,Fを
辺BC,CD上にそれぞれとり, AEとBFの交点をGとする。
このときAE⊥BFとなることを証明せよ。
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難しい証明では, 証明の方針を考えながら解く。
△ABEと△BCFの合同は簡単に証明できる。
AE⊥BFは∠AGBが90°になることで証明するが,
∠AGB=90°は, ∠GBE+∠GEB=90°で示せる。
∠GEBと∠BFCは△ABEと△BCFの合同で等しい角になるから
∠FBC+∠BFC=90°となることを内角の和と∠BCF=90°から示す。
【証明】
△ABEと△BCFにおいて
ABCDが正方形なので
AB=BC(正方形の辺)・・・①
∠ABE=∠BCF=90°(正方形の角)・・・②
仮定より BE=CF・・・③
①, ②, ③より
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△BCF
合同な図形の対応する角は等しいので∠AEB=∠BFC・・・④
△BFCの内角の和は180°で ∠BCF=90°なので
∠CBF+∠BFC=90°・・・⑤
④, ⑤より ∠CBF+∠AEB=90°
△BEGで外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので
∠AGB=∠CBF+∠AEB = 90°
よって AE⊥BF
【練習】
AB=CB, AD=CDのとき
AC⊥BDとなることを証明せよ。
△ABDと△CBDにおいて
仮定より
AB=CB・・・①
AD=CD・・・②
BDは共通・・・③
①,②, ③より
3組の辺がそれぞれ等しいので△ABD≡△CBD・・・④
△ABEと△CBEにおいて
BE共通・・・⑤
④より合同な図形の対応する角は等しいので∠ABE=∠CBE・・・⑥
①, ⑤, ⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△CBE
合同な図形の対応する角は等しいので
∠AEB=∠CEB・・・⑦
直線は180°なので∠AEB+∠CEB=180°・・・⑧
⑦, ⑧より∠AEB=90°
よってAC⊥BD
