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平行線の錯角・同位角

角度の表し方(復習)

図1の赤で示した角は半直線BAとBCでできている。
このBA、BCを角の辺といい、点Bを角の頂点という。
この角を表すには∠B、または∠ABCと書く。
∠ABCのように3文字で表す場合は
角の頂点の文字Bを必ず中央に書く。
Bを中央にすればいいので∠CBAと書いても良い。
ABC図1

図2のような図形の場合、赤で示した角度は1文字で表せない。
∠Eとしてしまうと青い部分、赤い部分または両方合わせた部分の
どれを指すかわからなくなるためである。
このため3文字で∠GEFとあらわす。
青い部分は∠DEG、両方合わせた部分は∠DEFである。
図2DEFG
図形の証明などでは、1文字で表せない場合が多く出てくるので3文字で表せるようにしておく必要がある。

対頂角

2つの直線が交わると角が4つできる。
図3では直線ACとBDが交点Oで交わって
∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOAができる。
このうち∠AODと∠COBのような向かい合う角を対頂角という。
さらにもう一組の∠AOBと∠CODも対頂角である。対頂角
図3ABCDO
そして、対頂角は等しい。
「対頂角が等しい」証明

錯角と同位角

2直線mとnに対して両方に交わる直線があるとき、
図に赤で示した位置の角を錯角という。
錯角はもう一組ある。錯角

次に同位角。同位角は4組ある。
同位角① 同位角② 同位角③ 同位角④
図5mn 錯角 同位角

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平行線の錯角、同位角

平行線の定義・・・錯角の等しい2直線は平行である。
この定義から次の性質、条件が導ける。
平行線の性質
2つの直線に1つの直線が交わるとき、
2つの直線が平行なら錯角は等しい
2つの直線が平行なら同位角は等しい

平行線になる条件
2つの直線に1つの直線が交わるとき、
錯角が等しければこの2直線は平行になる。
同位角が等しければこの2直線は平行になる。

【例1】
68°mnxm//n
平行線の同位角は等しいので ∠x=68°
108°m//nmny
平行線の錯角は等しいので ∠y=108°
【確認】
∠pと同じ大きさの角をすべて選べ。
pabcdefgmnm//n ∠a, ∠d, ∠f
∠x, ∠yのそれぞれの大きさを求めよ。
m//nmnxy63°104° ∠x=63°、∠y=104°
【例2】
52°52°57°57°pqrs pとrは同位角が等しいので平行である。
qとsは錯角が等しいので平行である。
【確認】 mとnが平行になるものをすべて選べ。
② ③
88°88°mn 92°92°mn 108°72°mn 92°88°mn

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例題 平行線の錯角、同位角

【例題】
図で、l//mのときxの角度を求める。 63°42°xlm
【解き方】 63°の錯角、42°の同位角をそれぞれ図示する。
63°の錯角 42°の錯角
直線は180°なので、180-63-42=75° 75°
これはxの対頂角なので
x = 75°
63°42°xlm42°63°75°
【確認】l//mのときxの角度を求めよ。
57°
xlm72°51°
145°
xlm63°82°

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