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平方根の性質(自然数になる2)

a2=a
・ √の中はできるだけ簡単にする
・ 分母は有理化する

242n が2けたの自然数となるような整数nをすべて求めよ。 283n が自然数となるような整数nを小さい方から3つ求めよ。 19-nが整数となるような自然数nをすべて求めよ。 53-2nが整数となるような自然数nをすべて求めよ。 (1) 242を素因数分解すると242=2×112なので
242n=112n
112nが2けたの自然数なので
1≦2n≦9 である。
また、2nが自然数の2乗になるのは n=2×a2 のときである。(aは整数)
すると 2n = 2×2×a2 = 2a
よって 1≦2a≦9 より a=1,2,3,4
したがって n= 2, 8, 18, 32となる。
【答】 n= 2, 8, 18, 32

(2)283n を有理化して、√の中を簡単にすると
283n = 221n3
21nが自然数の2乗になるのは n=21×a2 のときである。(aは整数)
小さい方から3つなので a=1,2,3
よって n= 21×1, 21×4, 21×9
【答】n=21, 84, 189

(3) nが自然数(1≦n)なので 0≦19-n < 18である。
0以上19未満の整数の2乗は 0,1,4,9,16なので
19-n=0のとき n=19
19-n=1のとき n=18
19-n=4のとき n=15
19-n=9のとき n=10
19-n=16のとき n=3
【答】n=3,10,15,18,19

(4) nが自然数なので 0 < 53-2n < 53 である。
また、53は奇数、2nは偶数なので 53-2nは奇数となる。
0より大きく、53より小さい整数の2条で奇数のものは 1, 9, 25, 49なので
53-2n=1のとき n=26
53-2n=9のとき n=22
53-2n=25のとき n=14
53-2n=49のとき n=2
【答】n=2, 14, 22, 26

【練習】

162nが2けたの自然数となるような整数nをすべて求めよ。
n=2,8,18,32,50
983nが自然数となるような整数nを小さい方から3つ求めよ。
n=6,24,54
39-nが整数となるような最小の自然数nを求めよ。
n=3
45-2nが整数となるような自然数nを全て求めよ。
n=10,18,22

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