ルートの計算

積と商

平方根の計算ポイント①
掛け算、割り算はルートの中どうし計算できる。
a×b=ab a÷b= a b 詳しく 平方根とは2乗の逆のことなので
aを2乗するとaになり、bを2乗するとbになる。
(a)²=a,　(b)²=b
abを２乗するとabになる。 (ab)²=ab
また、a×bの2乗を考えてみると、
(a×b)²= (a×b)×(a×b) = a×a×b×b 　= ab
つまり(a×b)²=(ab)²
よってa×b=abが成り立つ。

同様にして考えると
　(a÷b)² = a b × a b = a b
よって a÷b= a b が成り立つ。 閉じる 【例】
5×7 = 5×7 = 35 21÷3 = 21÷3 = 7
【確認】次の計算をせよ。　答表示

3×2
6 10÷5
2

加法・減法

平方根の計算ポイント ②
　平方根の足し算引き算は　同類項をまとめる と同じ方法！
掛け算や割り算はルートの中どうしで計算できるが、
足し算、引き算は計算できないので注意が必要。
つまり2+3 は計算できない。
ところが3+3 のようにルートの中が全く同じ数の場合
文字式の同類項をまとめるように計算できる。
【文字式】　x + x = 2x 　xのところに3をあてはめる。
【平方根】　3+3=23
ルートの外に係数があっても同様に計算できる。
【文字式】　3x + 7x = (3+7)x = 10x
【平方根】　32+72=(3+7)2 =102
【確認】つぎの計算をせよ。答表示
52+32
82 710−210
510

ルートの中を簡単にする

平方根とは2乗の逆のことなので
(a)²=a a²=a
　これが平方根の基本(ただし、a>0)

12について
12を素因数分解すると　12=2×2×3　となる。
つまり　12=2×2×3
2×2=2　なので
12=2×2×3=23
このようにして、ルートの中は常にできるだけ簡単にしておく。

【例】
8=2×2×2=22
63=3×3×7=37
【確認】　上記の例のようにルートの中をできるだけ簡単にせよ。答表示
　 50
52 180
65

ルートの中を簡単にしてから足し算・引き算

平方根の足し算、引き算はルートの中がまったくおなじときしか計算できない。
ただし、一見計算できないと思っても、ルートの中を簡単にすると計算できる場合がある。
【例】
63+28 =37+27 =57
このため常に、ルートの中はできるだけ簡単にしておく必要がある。
【確認】　計算せよ。　答表示
　 50−8
32 27+75
83

分母の有理化

5 3 　このように分数の分母に平方根がある場合、分母の平方根をなくさなければならない。
a×a=aという性質を利用して、分母にある平方根と同じ平方根を分母、分子にかける。
　 5 3 = 5×3 3×3 = 15 3
分母が25なら、5だけかける。
　 7 25 = 7×5 25×5 = 35 10
ルートの中は、有理化する前に簡単にしておくほうが計算間違いが少ない。
　 5 12 = 5 23 = 5×3 23×3 = 15 6

【確認】　分母を有理化せよ。答表示
　 2 7
14 7 　 3 8
6 4