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ルートの計算

掛け算・割り算

平方根の計算ポイント①
掛け算、割り算はルートの中どうし計算できる。
a×b=ab a÷b= a b
平方根とは2乗の逆のことなので
aを2乗するとaになり、bを2乗するとbになる。
(a)2=a, (b)2=b
abを2乗するとabになる。 (ab)2=ab
また、a×bの2乗を考えてみると、
(a×b)2= (a×b)×(a×b) = a×a×b×b  = ab
つまり(a×b)2=(ab)2
よってa×b=abが成り立つ。

同様にして考えると
 (a÷b)2 = a b × a b = a b
よって a÷b= a b が成り立つ。
【例】
5×7 = 5×7 = 35 21÷3 = 21÷3 = 7

【確認】次の計算をせよ。 

3×2
6
10÷5
2


足し算・引き算

平方根の計算ポイント ②
 平方根の足し算引き算は 同類項をまとめる と同じ方法!

掛け算や割り算はルートの中どうしで計算できるが、
足し算、引き算は計算できないので注意が必要。
つまり2+3 は計算できない。
ところが3+3 のようにルートの中が全く同じ数の場合
文字式の同類項をまとめるように計算できる。
【文字式】 x + x = 2x  xのところに3をあてはめる。
【平方根】 3+3=23

ルートの外に係数があっても同様に計算できる。
【文字式】 3x + 7x = (3+7)x = 10x
【平方根】 32+72=(3+7)2 =102

【確認】つぎの計算をせよ。
52+32
82
710−210
510

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ルートの中を簡単にする

平方根とは2乗の逆のことなので
(a)2=a a2=a
 これが平方根の基本(ただし、a>0)


12について
12を素因数分解すると 12=2×2×3 となる。
つまり 12=2×2×3
2×2=2 なので
12=2×2×3=23
このようにして、ルートの中は常にできるだけ簡単にしておく。


【例】
8=2×2×2=22
63=3×3×7=37

【確認】 上記の例のようにルートの中をできるだけ簡単にせよ。
  50
52
180
65


ルートの中を簡単にしてから足し算・引き算

平方根の足し算、引き算はルートの中がまったくおなじときしか計算できない。
ただし、一見計算できないと思っても、ルートの中を簡単にすると計算できる場合がある。
【例】
63+28 =37+27 =57

このため常に、ルートの中はできるだけ簡単にしておく必要がある。
【確認】 計算せよ。 
  508
32
27+75
83


分母の有理化

5 3  このように分数の分母に平方根がある場合、分母の平方根をなくさなければならない。
a×a=aという性質を利用して、分母にある平方根と同じ平方根を分母、分子にかける。
  5 3 = 5×3 3×3 = 15 3
分母が25なら、5だけかける。
  7 25 = 7×5 25×5 = 35 10
ルートの中は、有理化する前に簡単にしておくほうが計算間違いが少ない。
  5 12 = 5 23 = 5×3 23×3 = 15 6

【確認】 分母を有理化せよ。
  2 7
14 7
  3 8
6 4
   

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