平方根

平方根とは

平方根とは2乗の逆のこと
「5の2乗は25、また、(−5)の2乗も25である。」
そのため25の平方根は+5と−5である。
5と-5のことをあわせて±5と表記することもある。
例) 25の平方根は±5
平方根とは2乗の逆のことなので、2乗したときにAになる数がAの平方根である。
2乗するとAになる数がAの平方根
(□)² = A
□に当てはまる数がAの平方根である。 【例】　16の平方根
(□)² = 16 が成り立つのは
□に4が入るときである。
また、-4を入れてもこの式は成り立つ。
つまり、16の平方根は±4である
【確認】平方根を求めよ。 答表示
4
±2 49
±7 100
±10

平方根の性質

(□)² = 1 のとき
□には1,または-1が入る。つまり1の平方根は±1
(□)² = 9のとき
□には3, または-3がはいるので、9の平方根は±3
このように正の数の平方根は、正と負の2つあり、それらの絶対値は等しい。
ところが (□)² = 0 のとき、□にあてはまるのは0だけである。
つまり、0の平方根は0だけである。
また、(□)² = -4 を成り立たせるような□に入る数は無いので、
負の数の平方根は存在しない
【平方根の数】
正の数　⇒　平方根は正と負の2つ
0 ⇒　0の平方根は0だけ
負の数　⇒　平方根は存在しない

文字のときの平方根

(□)²=x⁴ となるのは□にx²または−x²が入るとき。
つまりx⁴の平方根は±x²である。 【確認】次の数の平方根を求めよ。ただし文字はすべて正の数である。答表示
25
±5 0.04
±0.2 116
±14
x²
±x a²x²
±ax y⁶
±y³

平方根を表す記号

平方根を表す記号を根号(ルート)という。⇒　　
4は4の平方根のうち正の数を表す。 つまり4 = 2
負の数を表すときはマイナスをつける。　−4 = −2
この根号を使うと平方根が整数にならないような場合でも平方根を表すことができる。
【例】
16の平方根は±16=±4　 2の平方根は±2　 15の平方根は±15　 xの平方根は±x 負の数には平方根が存在しないので根号の中は必ず正の数である。
上の例で言うとxは必ず正でなければならない。

a²の平方根

(□)² = A のとき□に入る数をAの平方根という
すると　(□)² = a²　のとき□にはa や -aが入るので
a²の平方根は ±aである。
つまり、　aが正の数なら a² = a となる
また、aが正の数のときaの平方根は±aなので、
( a )² = aである。
【例】
5² = 5、　 -3² = -3、　 (-2)² = 2
※根号の前に-がなければ正の数である (6 )² = 6、　 (-8 )² = 8、　 -(11 )² = -11 【確認1】次の数を根号を使わずに表せ。答表示
64
8 (-9)²
9 -4
-2

チェックテスト

○、☓または選択肢を選んで答えよ。
2乗したときにxになる数を何というか。 xの平方 xの平方根 xの平方根 81の平方根は9と-9の両方である。 ○ ☓ ○ 0の平方根は0だけである。 ○ ☓ ○ -16の平方根は？ -4 なし なし 25はどれか。 5 ±5 5 7の平方根はどれか。 7 ±7 ±7 x¹⁶の平方根はどれか。 x⁸ x⁴ x⁸