2けたの自然数Pがある。Pの十の位の数と一の位の数を入れ替えた数をQとする。P+Qが11の倍数になることを説明せよ。
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問題文を3つの部分に分ける。
(1)「2けたの自然数Pがある。Pの十の位の数と一の位の数を入れ替えた数をQとする。」
(2)「P+Q」
(3)「11の倍数になる」
(1)文字式で表す↓
Pの十の位の数をa, 一の位の数をbとすると P=10a+b
Qは十の位がb, 一の位がaなので Q=10b+a
(2)計算する↓
PとQの和
P+Q = (10a+b) + (10b+a)
= 11a+11b
= 11(a+b)
(3)最後に結論をまとめる。↓
a, bともに整数なので(a+b)も整数である。
すると, 11(a+b)は11×整数となるので11の倍数になる。
つまり P+Q は11の倍数だといえる。
【説明】
Pの十の位の数をa, 一の位の数をbとすると P=10a+b, Q=10b+aとなる。
P+Q
= (10a+b) + (10b+a)
= 11a+11b
= 11(a+b)
(a+b)が整数なので, 11(a+b)は11の倍数である。
よって, P+Qは11の倍数となる。
