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式による説明 準備

式による説明とは、数について、ある性質が成り立つことを文字を使った式で説明すること。

慣れないと難しく感じたり、苦手意識をもったりするが、準備(このページ)をしっかり理解して身につけておけば難しくはない。

準備1 文字を使って数を表す

倍数

整数に3をかけてできる数を3の倍数という。 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9・・・
つまり、3の倍数は3×整数である。 整数をnとして、3の倍数は3nと表せる。
同じようにnを整数として4の倍数は4n, 11の倍数は11nなどと表せる。また、2の倍数は偶数のことなので偶数は2nと表せる。

nを整数とすると
偶数・・・2n, 3の倍数・・・3n, 4の倍数・・・4n, 11の倍数・・・11n

あまり

3の倍数は、3で割り切れる数である。 3n÷3=n, 3÷3=1, 6÷3=2・・・
3で割り切れる数に1を足すと3n+1, 3+1=4, 6+1=7, 9+1=10・・・
割り切れる数に余分な1を足しているのでこれらの数を3で割ると1あまる。
つまり3n+1は3で割ると1あまる数を表している。
同じように3n+2は3で割ると2あまる数、 7n+4は7で割ると4あまる数である。
また2n+1は2で割ると1あまる数、いいかえると 2で割り切れない数、つまり奇数を表す

nを整数とすると
3で割ると1余る数・・・3n+1 7で割ると4余る数・・・7n+4 奇数・・・2n+1

連続する数

3つの連続する自然数、例えば3, 4, 5や10, 11, 12など
連続する自然数はかならず1ずつ大きくなるので、はじめの自然数をnとすると次はn+1,その次はn+2となる。
つまり3つの連続する自然数は、はじめの自然数をnとしてn, n+1, n+2と表せる。
3つの連続する奇数、たとえば5, 7, 9や17, 19, 21など
今度は2ずつ大きくなっている、nを自然数とすると奇数は2n+1なので2つ目は2を加えて2n+3, その次はさらに2を加えて2n+5となる。
同じようにして3つの連続する偶数は2n, 2n+2, 2n+4と表せる。
 ※自然数ではn-1からはじめてn-1, n, n+1,奇数では2n-1からはじめて2n-1, 2n+1, 2n+3などでもかまわない

nを最初の自然数とすると
3つの連続する自然数 n, n+1, n+2
nを整数とすると
連続する3つの奇数 2n+1, 2n+3, 2n+5 連続する3つの偶数 2n, 2n+2, 2n+4

2けたの自然数

2けたの自然数76では、十の位の数が7、一の位の数が6である。これは76は10が7個と1が6個でできていることを表している。 つまり76=10×7+1×6。文字を使って十の位の数をa, 一の位の数をbとすると 2けたの自然数は10a+b。 同様に3けたの自然数は百の位の数x,十の位の数y, 一の位の数zとして100x+10y+zとなる。

十の位の数をa, 一の位の数をbとすると
2けたの自然数は10a+b

準備2 分配法則の逆

式による説明では1年生で習った分配法則の逆の計算を使う。
分配法則 3(x+5)=3x+15
逆 3x+15 = 3×x+3×5 = 3(x+5) ←各項に共通にかかっている数を考えてそれをカッコの外に出す


12x+30y = 6(2x+5y) 2n+6 = 2(n+3)

確認 分配法則の逆を計算せよ。
7x+21y 6a-33b 5n+10

【答】 7(x+3y) 3(2a-11b) 5(n+2)


式による説明 解答の仕方

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