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放物線と直線

次の式で表される放物線と直線の交点を求めよ。

放物線y=x2 直線 y=x+6

放物線y=2x2 直線 y=-2x+4

放物線 y = - 1 2 x2 直線 y=x-12

放物線nと直線mが点AとBで交わっている。nの式はy = 1 2 x2でAのx座標が-2, Bのx座標が8である。直線mの式を求めよ。

A B m n x y O

放物線nと直線mが点A(-3,1)とB(6, t)で交わっている。tの値と、放物線nの式、直線mの式を求めよ。

O x y m n A B

放物線mと直線nが点AとBで交わっている。 Aが(-4,-2)、切片C(0, -6)のとき Bの座標を求めよ。

A B O x y m n C

放物線nはy=ax2,直線mはy=3x+bである。Aのx座標が-2, Bのx座標が14のとき aとbの値をそれぞれ求めよ。

m n x y A B O
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(3, 9), (-2, 4) (1,2), (-2,8) (4, -8), (-6, -18)


y=3x+8


t=4, 放物線n・・・y= 1 9 x2 直線m・・・y= 1 3 x+2


(12, -18)


a= 1 4 b=7

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直線y = mx+n と 放物線y = ax2の交点
ax2 = mx + n の2次方程式をを解く。

(1)
x2 =x+6
x2 -x-6=0
(x-3)(x+2)=0
x=3, -2
x=3をy=x+6に代入すると
 y=3+6 = 9
よって(3, 9)
x=-2をy=x+6に代入すると
y=-2+6=4
よって(-2, 4)
(2)
2x2 =-2x+4
x2 =-x+2
x2 +x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2, 1
x=-2をy=-2x+4に代入すると
 y=4+4=8
よって(-2, 8)
x=1をy=-2x+4に代入すると
 y=-2+4=2
よって(1, 2)
(3)
- 1 2 x2 = x-12
x2 = -2x+24
x2 +2x-24=0
(x-4)(x+6)=0
x=4, -6
x=4をy=x-12に代入すると
y=4-12=-8
よって(4,-8)
x=-6をy=x-12に代入すると
y=-6-12=-18
よって(-6, -18)

x=-2をy=12x2に代入すると
y=12×(-2)2 = 2
よってA(-2, 2)
x=8をy=12x2に代入すると
y=12×82=32
よってB(8,32)
2点A(-2, 2)とB(8,32)から直線の式を求める。
傾き 32-28-(-2) = 3010=3
y=3x+bにA(-2,2)を代入
2=3×(-2)+b
b=8
よって y=3x+8

点A(-3, 1)は放物線n上の点である。
nの式をy=ax2として
この式に(-3,1)を代入するとaの値が出る。
1 = a×(-3)2
1 = 9a
a = 19
よって放物線nの式は y = 19x2
放物線nの式が出たので、それにB(6, t)を代入すると
tの値が出る。
t = 19× 62
t = 19×36
t = 4
すると直線mは通る点2点がわかる。
A(-3, 1), B(6, 4)である。
この2点を通る直線の式を求めると
y = 13x +2

放物線y=ax2と直線y=mx+nの交点のx座標は
2次方程式 ax2=mx+nの解である。
放物線mをy=ax2とする。点A(-4, -2)を通るので-2=16a
a=-18
よって y=-18x2
直線nをy=sx+tとすると
切片C(0,-6)なので t=-6
点A(-4, -2)を通るので -2 = -4s-6
s=-1
よってy=-x-6
放物線mと直線nの交点を求めると -18x = -x-6
x2=8x+48
x2-8x-48=0
(x-12)(x+4)=0
x=12, -4
交点の1つAのx座標が-4なのでBのx座標は12
y=-x-6に代入するとy=-18
よってB(12, -18)

A,Bともに放物線上の点なので
y=ax2にx=-2を代入するとy=4a つまりA(-2, 4a)
y=ax2にx=14を代入するとy=196a つまりB(14, 196a)
これらをそれぞれ直線の式に代入すると
4a=-6+b・・・①
196a=42+b・・・②
この2式を連立方程式として解くと
a=14, b=7

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