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放物線の変域1(基礎)

変域とは・・・グラフの範囲のこと。
グラフを描いたときの横の範囲がxの変域、縦の範囲がyの変域になる。
図1 x y O xの変域 yの変域 x y O 図2 xの変域 yの変域
上記図1のような場合や、1次関数ではグラフの両端の点を考えるだけだったが、 図2のように放物線のグラフが原点を含むような場合はyの最小値が0になるので注意が必要になる。

 それぞれの関数でxの変域が次のように与えられている場合のyの変域を求めよ。
y=12x2で-6≦x≦-2 y=14x2 で-8≦x≦4 y=-x2で-1≦x≦4

xの変域が与えられていて、yの変域を求める場合
グラフを描きxの変域内でのyの最大値と最小値を出す。

放物線y=12x2のグラフでxの変域、-6≦x≦-2の部分では
x=-6でyが最大値18で、x=-2でyが最小値2となる。
よって 2≦y≦18
-6 -2 x y O (-6,18) (-2,2)
放物線y=14x2のグラフでxの変域-8≦x≦2の部分には
原点(0,0)が含まれる。
変域内のグラフでは原点が最も下の点なので
y=0が最小値となる。
最大値はx=-8のときのy=16である。
よって 0≦y≦16
x y -8 4 O (-8,16) (4,4) (0,0)
このようにa>0のy=ax2のグラフで変域に原点を含む場合、
最小値は0になり、xの値の絶対値が大きい方が最大値となる。

放物線y=-x2のグラフでxの変域-1≦x≦4の部分には
原点(0,0)が含まれる。
変域内では原点が最も上の点なので
y=0が最大値である。
最小値はx=4のときのy=-16である。
よって-16≦y≦0
O x y -1 4 (-1,-1) (4, -16)
このようにa<0のy=ax2のグラフで変域に原点を含む場合、
最大値は0で、xの値の絶対値が大きい方が最小値となる。

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