図形に関する2次方程式文章題

平面図形に関する問題

長さや面積に負の数はないので、その場合x>0となる。
【例題】 ある正方形がある。この正方形の縦を10cm伸ばし、横を2㎝縮めてできた長方形の面積は、もとの正方形の面積の2倍より20㎝²小さくなった。　もとの正方形の1辺の長さを求めよ。 周の長さが38cm, 面積 84cm²の長方形の縦と横の長さを求めよ。ただし、横のほうが長いとする。
① もとの正方形の1辺の長さをxcmとすると、長方形の縦は(x+10)cm, 横は(x-2)cmである。
もとの正方形の面積がx²cm², 長方形の面積が (x+10)(x-2)cm²
長方形の面積はもとの正方形の面積の2倍より20小さいので
(x+10)(x-2) = 2x²-20
これを解くと
x²+8x-20 =2x²-20
-x²+8x=0
x(x-8)=0
x = 0, 8　ところがx>0よりx=8
【答】 8cm

② 周の長さが38cmなので、縦と横の長さの合計が19cmである。
縦の長さをxcmとすると横の長さは(19-x)cm
面積が84cm²なので
x(19-x)=84
これを解くと
19x-x²=84
x²-19x+84=0
(x-7)(x-12)=0
x=7, 12
横のほうが長いのでx=7
【答】 縦7cm, 横12cm

【確認】答表示
正方形の縦を9cm伸ばし、横を1㎝縮めてできた長方形の面積は、もとの正方形の面積の2倍より42㎝²小さくなった。　もとの正方形の1辺の長さを求めよ。
もとの正方形の1辺をxcmとする
(x+9)(x-1)=2x²-42
これを解くとx=11,-3
x>0よりx=11【答】11cm 周の長さが44cm, 面積 117cm²の長方形の縦と横の長さを求めよ。ただし、横のほうが長いとする。
縦の長さをxcmとする。
x(22-x)=117
これを解くとx=13, 9
横の長さのほうが長いので x=9【答】縦9cm, 横13cm 横が縦より8cm長い長方形がある。この長方形の面積が84cm²のとき、縦と横の長さを求めよ。
縦の長さをxcmとする。
x(x+8)=84
これを解くとx =6, -14
x>0よりx=6 【答】縦6cm, 横14cm