図形に関する2次方程式文章題

平面図形に関する問題

長さや面積に負の数はないので、その場合x>0となる。
【例題】ある正方形がある。この正方形の縦を10cm伸ばし、横を2㎝縮めてできた長方形の面積は、もとの正方形の面積の2倍より20㎝²小さくなった。　もとの正方形の1辺の長さを求めよ。周の長さが38cm, 面積 84cm²の長方形の縦と横の長さを求めよ。ただし、横のほうが長いとする。
① もとの正方形の1辺の長さをxcmとすると、長方形の縦は(x+10)cm, 横は(x-2)cmである。
もとの正方形の面積がx²cm², 長方形の面積が (x+10)(x-2)cm²
長方形の面積はもとの正方形の面積の2倍より20小さいので
(x+10)(x-2) = 2x²-20
これを解くと
x²+8x-20 =2x²-20
-x²+8x=0
x(x-8)=0
x = 0, 8　ところがx>0よりx=8
【答】 8cm

② 周の長さが38cmなので、縦と横の長さの合計が19cmである。
縦の長さをxcmとすると横の長さは(19-x)cm
面積が84cm²なので
x(19-x)=84
これを解くと
19x-x²=84
x²-19x+84=0
(x-7)(x-12)=0
x=7, 12
横のほうが長いのでx=7
【答】縦7cm, 横12cm

【確認】
正方形の縦を9cm伸ばし、横を1㎝縮めてできた長方形の面積は、もとの正方形の面積の2倍より42㎝²小さくなった。　もとの正方形の1辺の長さを求めよ。
もとの正方形の1辺をxcmとする
(x+9)(x-1)=2x²-42
これを解くとx=11,-3
x>0よりx=11【答】11cm 周の長さが44cm, 面積 117cm²の長方形の縦と横の長さを求めよ。ただし、横のほうが長いとする。
縦の長さをxcmとする。
x(22-x)=117
これを解くとx=13, 9
横の長さのほうが長いので x=9【答】縦9cm, 横13cm 横が縦より8cm長い長方形がある。この長方形の面積が84cm²のとき、縦と横の長さを求めよ。
縦の長さをxcmとする。
x(x+8)=84
これを解くとx =6, -14
x>0よりx=6 【答】縦6cm, 横14cm

道幅に関する問題

【例題】縦19m、横36mの長方形の土地がある。
図のように同じ幅の道路が縦2本、横1本
通っている。道以外の土地の面積の合計は
480m²である。道幅はmか。

① 道路を平行移動させても面積は変わらない。
図のように土地の端に道路を移動させて、
道路以外の部分を１つの長方形として考える。道路の幅をxmとすると道路以外の部分の長方形は縦(19-x)m, 横(36-2x)mとなる。
道路以外の面積の合計が480m²なので
(19-x)(36-2x)=480
684-74x+2x²=480
2x²-74x+204=0
x²-37x+102=0
(x-34)(x-3)=0
x=34, 3
ところが、道が土地の縦や横より広くなることは無いので2x<36より x<18
よってx=3
【答】3m

【確認】
縦18m、横29mの長方形の土地がある。
図のように同じ幅の道路が縦、横に通っている。
道以外の土地の面積の合計は432m²である。道幅はmか。
道幅をxmとする。
(18-x)(29-x)=432
これを解いてx=45, 2
ところがx<18よりx=2【答】2m

ふたのない箱の問題

【例題】縦x cm、横2x cmの長方形がある。この長方形の四隅から
1辺2㎝の正方形を切り取ってふたのない箱を作る。
この箱の容積が192cm³になる。xを求めよ。
箱を組み立てると
底面が縦(x-4)cm, 横(2x-4)cm、高さ2cmの直方体になる。
この直方体の体積が192なので
2(x-4)(2x-4)=192
これを解くと
4x²-24x+32=192
4x²-24x-160=0
x²-6x-40=0
(x-10)(x+4)=0
x=10, -4ところが x>4より
x=10

【確認】
図の長方形は横の長さが縦よりも8cm長い。この長方形の4すみから
1辺3cmの正方形を切り取って残った部分を組み立ててふたのない
直方体の箱を作ったら体積が384cm³になった。元の長方形の
縦の長さを求めよ。縦の長さをxcmとする。
3(x-6)(x+8-6)=384
この方程式を解くとx=14, -10ところがx>6よりx=14
【答】14cm 縦10cm、横16cmの長方形の厚紙がある。この厚紙の4すみから同じ大きさの正方形を切り取り底面積が72cm²のふたのない箱を作りたい。切り取る正方形の 1辺の長さを求めよ。
切り取る正方形の1辺をxcmとする。
(10-2x)(16-2x)=72
この式を解くとx=2,11ところがx<5よりx=2
【答】2cm