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図形に関する2次方程式文章題

平面図形に関する問題

長さや面積に負の数はないので、その場合x>0となる。
【例題】 ある正方形がある。この正方形の縦を10cm伸ばし、横を2㎝縮めてできた長方形の面積は、もとの正方形の面積の2倍より20㎝2小さくなった。 もとの正方形の1辺の長さを求めよ。 周の長さが38cm, 面積 84cm2の長方形の縦と横の長さを求めよ。ただし、横のほうが長いとする。
もとの正方形の1辺の長さをxcmとすると、長方形の縦は(x+10)cm, 横は(x-2)cmである。
もとの正方形の面積がx2cm2, 長方形の面積が (x+10)(x-2)cm2
長方形の面積はもとの正方形の面積の2倍より20小さいので
(x+10)(x-2) = 2x2-20
これを解くと
x2+8x-20 =2x2-20
-x2+8x=0
x(x-8)=0
x = 0, 8 ところがx>0よりx=8
【答】 8cm


周の長さが38cmなので、縦と横の長さの合計が19cmである。
縦の長さをxcmとすると横の長さは(19-x)cm
面積が84cm2なので
x(19-x)=84
これを解くと
19x-x2=84
x2-19x+84=0
(x-7)(x-12)=0
x=7, 12
横のほうが長いのでx=7
【答】 縦7cm, 横12cm


【確認】
正方形の縦を9cm伸ばし、横を1㎝縮めてできた長方形の面積は、もとの正方形の面積の2倍より42㎝2小さくなった。 もとの正方形の1辺の長さを求めよ。
もとの正方形の1辺をxcmとする
(x+9)(x-1)=2x2-42
これを解くとx=11,-3
x>0よりx=11【答】11cm
周の長さが44cm, 面積 117cm2の長方形の縦と横の長さを求めよ。ただし、横のほうが長いとする。
縦の長さをxcmとする。
x(22-x)=117
これを解くとx=13, 9
横の長さのほうが長いので x=9【答】縦9cm, 横13cm
横が縦より8cm長い長方形がある。この長方形の面積が84cm2のとき、縦と横の長さを求めよ。
縦の長さをxcmとする。
x(x+8)=84
これを解くとx =6, -14
x>0よりx=6 【答】縦6cm, 横14cm

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