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動点に関する2次方程式文章題

動点に関する2次方程式文章題

毎秒1cmで進む点がx秒間に進む道のりはxcm, 毎秒2cmなら2xcmとなる。
【例題】  △ABCはBC=12㎝、AC=6㎝、∠BCA=90°の直角三角形である。
点Pは頂点Bを出発して毎秒2㎝でCまで進む。
同時に点Qは頂点Cを出発して毎秒1㎝でAまで進む。
△PCQの面積が9㎝2になるのは出発から何秒後か。
ABCPQ

△PCQの面積をxの式で表し、「△PCQの面積が9になる」という方程式を作る。
三角形の面積は底辺×高さ÷2、△PCQは直角三角形なので、辺PCと辺QCをそれぞれxの式で表す。

Pは毎秒2cmで進むのでx秒間に進む道のりは2xcmである。
出発からPが進んだ長さはBPなのでBP=2xとなるのでPC=12-2xである。
Qは毎秒1cmなのでx秒間に進む道のりはxcmになる。
出発からQが進んだ長さはCQなのでCQ=x
ABCPQ2x1212-2xx
△PCQの面積をxの式で表すとx×(12-2x)÷2 = x(6x-x)
これが9cm2なので x(6-x)=9
これを解くと6x-x2=9
x2-6x+9=0
(x-3)2=0
x=3
        【答】3 秒後


【確認】
1辺18㎝の正方形ABCDにおいて点Pは頂点Aから頂点Bまで、
点Qは頂点Dから頂点Aまで動く。PとQは同時に出発し
両方とも毎秒1㎝の速さで動くとする。
△QPCの面積が126㎝2になるのは出発してから何秒後か。
PQABCD
出発から x 秒後とする。
   18(18−x) 2 + x(18−x) 2 + 18x 2 =324-126
   これを解くと x=6, x=12
        【答】6 秒後と 12 秒後
図は縦12㎝、横6㎝の長方形である。
点Pは頂点Aを出発して毎秒2㎝でBまで動き、点QはAと同時に
頂点Dを出発し毎秒1㎝でAまで動く。Pから辺BCに平行な直線
を引き辺CDとの交点をRとする。
台形PRDQの面積が16cm2になるのは出発してから何秒後か。
ABCDPQ R
出発から x 秒後とする。
6×2x 2 + x×2x 2 =16
   これを解くと x=2, x=-8
   ところが 0<x なので x=2
        【答】2 秒後

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