△ABCと△ADEはともに正三角形である。このとき△ADF∽△ECFを証明せよ。
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△ABD≡△ACEを証明すると
∠ABD=60°(正三角形の角)なので
対応する角の∠FCEも60°となる。
∠ADFも正三角形の角なので60°だから
∠ADF=∠FCEとなる。
もう1つは対頂角 ∠AFD=∠EFCなので
2組の角が等しくなり相似が証明できる。
【証明】
△ABDと△ACEにおいて
△ABCは正三角形なのでAB=AC・・・①
△ADEも正三角形なのでAD=AE・・・②
∠BAD=∠BAC-∠DAC・・・③
∠CAE=∠DAE-∠DAC・・・④
正三角形の角はすべて60°なので∠BAC=∠DAE=60°・・・⑤
③,④,⑤より∠BAD=∠CAE・・・⑥
①,②,⑥より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACE・・・⑦
△ADFと△ECFにおいて
⑦より合同な図形の対応する角は等しいので ∠ABD=∠ACE=60°・・・⑧
正三角形の角は60°なので∠ADF=60°・・・⑨
⑧,⑨より ∠ADF=∠FCE・・・⑩
対頂角は等しいので∠AFD=∠EFC・・・⑪
⑩⑪より
2組の角がそれぞれ等しいので△ADF∽△ECF
