垂直を使った相似の証明


△ABCで辺AC, AB上にそれぞれ点D, Eをとり
AC⊥BD, AB⊥CEとなるようにする。
△ABC∽△ADE∽を証明せよ。
ABCDE
まず△ABD∽△ACEを証明する。
対応する辺を比べると
AB:AC=AD:AEC
これはAB:AD= AC:AEと同じことである。
∠Aは共通なので2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなる。

【証明】
△ABDと△ACEにおいて
AC⊥BD, AB⊥CEより
∠ADB=∠AEC=90°・・・①
∠Aは共通・・・②
①,②より2組の角がそれぞれ等しいので
△ABD∽△ACE・・・③
△ABCと△ADEにおいて
③より相似な図形の対応する辺の比はすべて等しいので
AD:AE=AB:AC
よって AC:AE = AB:AD・・・④
①,④より
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△ADE

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