相似な図形の面積比、体積比(入試レベル)

図は底面積が360πcm²の円錐を, 底面に平行な平面で切断した円錐台である。
母線AB上に点Pがあり, AP=3cm, PB=6cmである。

この円錐台をさらに点Pを通り底面に平行な平面で切断して2つに分ける。
このときの断面積が160πcm²であった。
上の面の面積を求めよ。 切断してできた2つの立体の体積比を求めよ。 円錐にもどして考える

図でAを含む面を底面とする円錐をX, Pを含む面を底面とする円錐をY、Bを含む面を底面とする円錐をZとする。

この3つの円錐は相似な位置にあるので相似である。
Yの底面積は160π, Zの底面積は360πなので
面積比は160π:360π = 4:9
よってYとZの相似比は2:3である。
するとOP:OB=2:3, PB=6, AP=3なので
OA=9となる。
よってOA:OP=9:12=3:4
XとYの相似比3:4なので面積比は9:16
Yの底面積=160より
Xの底面積:160=9:16
Xの底面積は 90cm²
① 90cm²
XとYとZの相似比は3:4:6となるので体積比は 27:64:216
切断してできる上の円錐台 = 64-27=37
下の円錐台= 216-64 =152
② 37:152

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