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相似と線分の長さ(高校入試レベル)

図でBD=12cm, DC=5cmで,
BE⊥AC, AD⊥BC, ∠BAC=45°である。
(1) 線分AHの長さを求めよ。

(2) △ABCの面積を求めよ。
ABCDEH12cm5cm
(1) 図の中で
△AHE∽△ACD, △BHD∽△BCE, △AHE∽△BHD
よって△AHE∽△BCEとなる。

△AEBは∠BAE=45°, ∠BEA=90°なので
AE=BEの直角二等辺三角形である。
すると△AHEと△BCEは合同だとわかる。
よって AH = BC = 17cm

(2) HD=xとすると
△BHD∽△ACDで
辺BDと対応する辺はAD, HDと対応する辺はCD,
BD=12, AD=17+x, HD=x, CD=5なので
12:(17+x) = x:5
x(17+x) = 60
x2+17x-60=0
(x-3)(x+20)=0
x=3, -20
x>0より x=3
よって AD = 20
△ABC = 17×20÷2 = 170
答 170cm2

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