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相似基礎

相似とは

形を変えずに拡大、縮小した図形を相似な図形という。
A B C D E F
△ABCと△DEFが相似な場合、記号を使って△ABC∽△DEFと表す。

相似な図形の性質

相似な図形には
 対応する部分の長さの比は全て等しい。
 対応する角の大きさはそれぞれ等しい。
という性質がある。
このときの対応する部分の長さの比を相似比という。
例)
②は①を1.5倍に拡大した図形である。
A B C D E F G H 1.5倍に拡大した図形なので、
相似比は1:1.5=2:3である。
四角形ABCD∽四角形EFGH
対応する辺の比はすべて相似比と等しいので
AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE=2:3
対応する角はそれぞれ等しいので
∠DAB=∠HEF, ∠ABC=∠EFG,
∠BCD=∠FGH, ∠CDA=∠GHE

相似の中心,相似の位置

相似な図形の対応する点どうしを結ぶ直線が1点で交わり、その点から対応する点までの距離の比がすべて等しいとき、その点を相似の中心とよぶ。 また、そのときの図形を相似の位置にあるという。
例)それぞれの図形で、点Oが相似の中心
A B C A' B' C' O D E F D' E' F' O

三角形の相似

①,②,③のうちどれか一つでも成り立てば相似となる。
三角形の相似条件
①3組の辺の比がすべて等しい。 A B C D E F AB:DE=BC:EF=AC:DF
②2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。 AB:DE=BC:EF ∠ABC=∠DEF
③2組の角がそれぞれ等しい。 ∠ABC=∠DEF ∠BCA=∠EFD

例題)次のそれぞれの図で相似な三角形を見つけて、記号を使って表せ。
またその時の相似条件を書け。
A B C D E ∠ADE=∠ACB A B C D 12cm 16cm 9cm

【答】① △ADE∽△ACB  2組の角がそれぞれ等しい ② △ABD∽△ACB  2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。

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